2022届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编5：数列一、选择题．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））设等差数列的前项和为,若,则等于（ ）A．B．C．D．【答案】B．（2022届四川省高考压轴卷数学文试题）若等比数列满足,,则的值是（ ）A．B．C．4D．2【答案】C．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））己在等差数列的公差,若,则该数列的前项和的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】B．（2022届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）已知数列满足:,则（ ）A．210-1B．211-1C．212-1D．213-1【答案】C．（2022届山东省高考压轴卷文科数学）如果等差数列中,,那么（ ）A．14B．21C．28D．35【答案】C【解析】因为,所以,所以.．（2022届浙江省高考压轴卷数学文试题）若数列的通项公式是,则22\n（ ）A．15B．12C．D．【答案】A【解析】a1+a2=a3+a4==a9+a10=3,故所求和=3×5=15.选A二、填空题．（2022届北京市高考压轴卷文科数学）已知等差数列{}中,=32,=8,则此数列的前10项和=_____【答案】190【解析】由,解得,由,解得.所以.．（2022届上海市高考压轴卷数学（文）试题）在等差数列中,若,前5项的和,则_______________.【答案】【解析】在等差数列中,,解得,所以.．（2022届福建省高考压轴卷数学文试题）定义映射,其中,,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:①;②若,;③;则_______.【答案】．（2022届天津市高考压轴卷文科数学）等差数列的前项和是,若,,则的值为_______【答案】65【解析】由,得,由得,解得,所以.22\n．（2022届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）“公差为的等差数列数列的前项的和为,则数列是公差为的等差数列”,类比上述性质有:“公比为的等比数列数列的前项的和为,则数列___________________________”.【答案】是公比为的等比数列【解析】,∴是公比为的等比数列.．（2022届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）记,当时,观察下列等式:可以推测_____________________.【答案】【解析】:本题考查归纳推理问题.根据各式的规律,显然.令,则,代入得,所以.．（2022届山东省高考压轴卷文科数学）观察下列等式:,,,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n22\n∈,__________;【答案】【解析】由已知中的等式:,,,,所以对于n∈,.．（2022届辽宁省高考压轴卷数学文试题）设{an}是等比数列,公比,Sn为{an}的前n项和.记设为数列{}的最大项,则=__________.【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题.因为≧8,当且仅当=4,即n=4时取等号,所以当n0=4时Tn有最大值.．（2022届江西省高考压轴卷数学文试题）已知是一个公差大于0的等差数列,且满足.令,记数列的前项和为,对任意的,不等式恒成立,则实数的最小值是_______.【答案】100．（2022届安徽省高考压轴卷数学文试题）已知数列中满足,则数列的通项公式是________.【答案】【解析】本题考查叠加法求通项公式.因为22\n两边同除得,所以,相加得,因为,带入得.．（2022届安徽省高考压轴卷数学文试题）如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,,则在第20给个拐弯处的正整数是_______.【答案】【解析】观察图,仔细分析规律.第一个拐弯处;第二个拐弯处;第三个拐弯处;第四个拐弯处;第五个拐弯处;发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第20个拐弯处的数就是:.三、解答题．（2022新课标高考压轴卷（一）文科数学）设是公差大于零的等差数列,已知,.(Ⅰ)求的通项公式;22\n(Ⅱ)设是以函数的最小正周期为首项,以为公比的等比数列,求数列的前项和.【答案】解:(Ⅰ)设的公差为,则解得或(舍)所以(Ⅱ)其最小正周期为,故首项为1;因为公比为3,从而所以故．（2022届广东省高考压轴卷数学文试题）设等差数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求的值;(3)设数列的前项和为,求的值.【答案】解:(1)设等差数列的公差为,∵,∴22\n数列的通项公式(2)方法一:∵解得或(舍去)方法二:∵,解得或(舍去)(3)∵,∴∴．（2022届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)记,求证:;(3)求数列的前项和.【答案】(1)因为是方程的两根,且数列的公差,所以,公差.所以.又当时,有,所以.当时,有,所以.22\n所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.(2)由(1)知,所以,所以.(3)因为,则,①,②由①-②,得,整理,得.．（2022届天津市高考压轴卷文科数学）在数列中,已知.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求证:数列是等差数列;(Ⅲ)设数列满足,求的前n项和.【答案】解:(Ⅰ)∵∴数列{}是首项为,公比为的等比数列,∴(Ⅱ)∵∴22\n∴,公差d=3∴数列是首项,公差的等差数列(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,(n)∴∴,①于是②两式①-②相减得=∴.．（2022届江西省高考压轴卷数学文试题）对于给定数列,如果存在实常数使得对于任意都成立,我们称数列是“数列”.(Ⅰ)若,,,数列、是否为“数列”?若是,指出它对应的实常数,若不是,请说明理由;(Ⅱ)证明:若数列是“数列”,则数列也是“数列”;(Ⅲ)若数列满足,,为常数.求数列前项的和.【答案】解:(Ⅰ)因为则有故数列是“数列”,对应的实常数分别为.因为,则有故数列是“数列”,对应的实常数分别为(Ⅱ)证明:若数列是“数列”,则存在实常数,使得对于任意都成立,22\n且有对于任意都成立,因此对于任意都成立,故数列也是“数列”.对应的实常数分别为(Ⅲ)因为,则有,,,.故数列前项的和．（2022届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知等比数列的公比为()的等比数列,且成等差数列,(Ⅰ)求公比的值;(Ⅱ)设是以为首项,为公差的等差数列,其前项和为,当时,比较与的大小,并说明理由.【答案】解答:(Ⅰ)由题设或,又,(Ⅱ)当故对于当时,;22\n当时,;当时,．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））已知数列的首项,.(Ⅰ)证明:数列是等比数列;(Ⅱ)数列的前项和.【答案】解解:(Ⅰ)∵,,,又,,数列是以为首项,为公比的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即,.设,①则,②由①②得,.又.数列的前项和．（2022届北京市高考压轴卷文科数学）已知点(1,2)是函数的图象上一点,数列的前n项和.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)将数列前2022项中的第3项,第6项,,第3k项删去,求数列前2022项中剩余项的和.【答案】解:(Ⅰ)把点(1,2)代入函数,得.22\n当时,当时,经验证可知时,也适合上式,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列为等比数列,公比为2,故其第3项,第6项,,第2022项也为等比数列,首项公比为其第671项∴此数列的和为又数列的前2022项和为∴所求剩余项的和为．（2022届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知数列的首项为,前n项和为,且(Ⅰ)证明数列是等比数列(Ⅱ)令,求函数在点处的导数,并比较与的大小.【答案】(1)解:(1),(2)两列相减得当时,22\n,故总有,,又,从而,即数列是等比数列由(1)知==(1)当n=1时(1)式为0当n=2时(1)式为-12当时,又即(1)式>0．（2022届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）设满足以下两个条件的有穷数列a1,a2,an为n(n=2,3,4,)阶“梦想数列”:①a1+a2+a3++an=0②|a1|+|a2|+|a3|++|an|=122\n⑴分别写出一个单调递增的3阶和4阶“梦想数列”;⑵若某21阶“梦想数列”是递增等差数列,求该数列的通项公式;⑶记n阶“梦想数列”的前k项和为sk(k=1,2,3,,n)试证:|sk|≤【答案】解:(Ⅰ)数列为单调递增的三阶“梦想数列”,数列为单调递增的四阶“梦想数列”(Ⅱ)设等差数列的公差为d,,．（2022届重庆省高考压轴卷数学文试题）若对于正整数,表示的最大奇数因数,例如,.设.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求,,的值;(Ⅲ)求数列的通项公式.【答案】解:(Ⅰ),(Ⅱ);;(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对,有所以当时,于是,.所以22\n,又,满足上式,所以对,．（2022届山东省高考压轴卷文科数学）已知等比数列的所有项均为正数,首项=1,且成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)数列{}的前项和为,若=,求实数的值.【答案】【解析】(Ⅰ)设数列的公比为,由条件得成等差数列,所以解得由数列的所有项均为正数,则=2数列的通项公式为=(Ⅱ)记,则若不符合条件;若,则,数列为等比数列,首项为,公比为2,此时又=,所以．（2022届福建省高考压轴卷数学文试题）设为等差数列,为数列的前项和,已知.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为22\n依题意得解得∴(Ⅱ)由(Ⅰ)得∴．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））在数列中,(,且)(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;(Ⅲ)求数列的前项和.【答案】解:(Ⅰ)(Ⅱ)以为首项,为公比的等比数列从而,即(Ⅲ)当为偶数时,22\n当为奇数时,综上,．（2022届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题8分.设正数数列的前项和为,且对任意的,是和的等差中项.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在集合中,是否存在正整数,使得不等式对一切满足的正整数都成立?若存在,则这样的正整数共有多少个?并求出满足条件的最小正整数的值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)请构造一个与数列有关的数列,使得存在,并求出这个极限值.【答案】解:(Ⅰ)由题意得,①,当时,,解得,当时,有②,①式减去②式得,于是,,因为,所以,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以的通项公式为().(Ⅱ)设存在满足条件的正整数,则,,,又,,,,,,,,所以,,,均满足条件,它们组成首项为,公差为的等差数列.设共有个满足条件的正整数,则,解得.所以,中满足条件的正整数存在,共有个,的最小值为.(Ⅲ)设,即,22\n则,其极限存在,且.注:(为非零常数),(为非零常数),(为非零常数,)等都能使存在.．（2022届四川省高考压轴卷数学文试题）已知数列的前项和和通项满足.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求证:【答案】解:(Ⅰ)当时,,则,由题意可知,所以{}是公比为的等比数列,(II)证明:设∴∴22\n．（2022届浙江省高考压轴卷数学文试题）已知数列的前项和为,且,数列满足,且.(Ⅰ)求数列、的通项公式,并求数列的前项的和;(Ⅱ)设,求数列的前项和.【答案】【解析】(Ⅰ)当,;当时,,∴,∴是等比数列,公比为2,首项,∴由,得是等差数列,公差为2又首项,∴∴∴①①×2得②①—②得:,(Ⅱ)．（2022届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）在等比数列中,已知,公比22\n,等差数列满足.(Ⅰ)求数列与的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.【答案】【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为,等差数列的公差为.由已知得:,或(舍去),所以,此时所以,,.(Ⅱ)设,,两式相减得,所以．（2022届海南省高考压轴卷文科数学）等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=an+(﹣1)lnan,求数列{bn}的前2n项和S2n.【答案】专题:计算题.分析:本题考查的是数列求和问题.在解答时:(Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{bn}的通项进行化简,然后结合通项的特点,利用分组法进行数列{bn}的前2n项和的求解.解答:解:(Ⅰ)当a1=3时,不符合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时符合题意;22\n当a1=10时,不符合题意;所以a1=2,a2=6,a3=18,∴公比为q=3,故:an=2•3n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)∵bn=an+(﹣1)nlnan=2•3n﹣1+(﹣1)nln(2•3n﹣1)=2•3n﹣1+(﹣1)n[ln2+(n﹣1)ln3]=2•3n﹣1+(﹣1)n(ln2﹣ln3)+(﹣1)nnln3∴S2n=b1+b2++b2n=2(1+3++32n﹣1)+[﹣1+1﹣1++(﹣1)2n]•(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3++(﹣1)2n2n]ln3=2×1﹣32n1﹣3+nln3=32n+nln3﹣1∴数列{bn}的前2n项和S2n=32n+nln3﹣1.．（2022届安徽省高考压轴卷数学文试题）()若数列的前和为,首项是,满足(1)求数列的通项公式;(2)是否存在,使(其中是与正整数无关的常数)?若存在,求出和的值,若不存在,请说明理由;(3)求证:为有理数的充要条件是数列存在三项构成等比数列.【答案】【解析】(1)因为,所以,两式相减得:,即,所以数列是等差数列,所以(2)解法一、因为,所以,整理得,,所以当,时,该式恒成立.即当时,,故即为所求.解法二、假设存在满足题意,分别令得:,即,解得,当时,22\n为常数,所以即为所求.(3)①充分性:若三个不同项成等比数列,且,则,即,若,则,解得,这与矛盾,即,此时,且非负整数,故是有理数②必要性:若是有理数,且,则必存在正整数,使得,令,则正项数列是原数列的一个子数列,只要正项数列中存在着三个不同的项构成等比数列,则原数列必有三个不同项构成等比数列.不失一般性,不妨设,记(,且互质),又设,,则成等比数列,则,解得,为使为整数,则令,于是,所以成等比数列.综上所述,原命题得证.分.22
