2022届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编5：数列一、选择题．（2022届北京市高考压轴卷理科数学）为等差数列,为其前项和,则（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设公差为,则由得,即,解得,所以,所以.所以,选（ ）A．．（2022届天津市高考压轴卷理科数学）设是公差不为0的等差数列的前项和,且成等比数列,则等于（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为成等比数列,所以,即,即,所以,选C．．（2022届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知数列的前项和满足:,且,那么（ ）A．1B．9C．10D．55【答案】A【解析】,可得,,可得,同理可得,故选（ ）A．．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知等比数列中,公比若22\n则有（ ）A．最小值-4B．最大值-4C．最小值12D．最大值12【答案】B．当且仅当时取=号．（2022届四川省高考压轴卷数学理试题）若等比数列满足,,则的值是（ ）A．B．C．4D．2【答案】C．（2022届福建省高考压轴卷数学理试题）设等差数列的前项和是,若(N*,且),则必定有（ ）A．,且B．,且C．,且D．,且【答案】C【解析】由题意,得:.显然,易得,．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知数列的通项公式为,那么满足的整数（ ）A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在【答案】B．因为,检验,时,22\n,不合题意.时,,满足题意由对称性知,.所以,均满足题．（2022届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为（ ）A．或5B．或5C．D．【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质,属于中等题.显然q1,所以,所以是首项为1,公比为的等比数列,前5项和.．（2022届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则等于【全,品中&高*考*网】（ ）A．B．C．D．【答案】C．（2022届重庆省高考压轴卷数学理试题）设正数满足,则（ ）A．B．C．D．【答案】B．（2022届福建省高考压轴卷数学理试题）设等差数列满足:22\n,公差.若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】先化简:又当且仅当时,数列的前项和取得最大值,即:二、填空题．（2022届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知,若(a,t均为正实数),则类比以上等式,可推测a,t的值,a+t=_______.【答案】41【解析】照此规律:a=6,t=a2-1=35．（2022届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知数列是等差数列,数列是等比数列,则的值为_____________.【答案】【解析】因为是等差数列,所以是等比数列,所以,因为,所以,所以.22\n．（2022届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则a10=____________.【答案】1023【解析】累加法.．（2022届广东省高考压轴卷数学理试题）定义映射,其中,,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:①;②若,;③,则___,___.【答案】解:根据定义得.,,,所以根据归纳推理可知.．（2022届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）“公差为的等差数列数列的前项的和为,则数列是公差为的等差数列”,类比上述性质有:“公比为的等比数列数列的前项的和为,则数列___________________________”.【答案】是公比为的等比数列【解析】,∴是公比为的等比数列.．（2022届安徽省高考压轴卷数学理试题）设等差数列的公差,且,当时,的前项和取得最小值,则的取值范围是__________.22\n【答案】【解析】,是前项和取得最小值,解得.．（2022届江苏省高考压轴卷数学试题）在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则的值为_______.120.51abc【答案】1．（2022届福建省高考压轴卷数学理试题）无穷数列的首项是,随后两项都是,接下来项都是,再接下来项都是,,以此类推.记该数列为,若,,则________.【答案】【解析】将分组成.第组有个数,第组有个数,以此类推...显然在第组,在第组.易知,前20组共个数.所以,.．（2022届江西省高考压轴卷数学理试题）已知是一个公差大于0的等差数列,且满足.令,记数列的前项和为,对任意的,不等式恒成立,则实数的最小值是_______.【答案】100三、解答题．（2022届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知数列的首项为,前n项和为22\n,且(Ⅰ)证明数列是等比数列(Ⅱ)令,求函数在点处的导数,并比较与的大小.【答案】(1)解:(1),(2)两列相减得当时,,故总有,,又,从而,即数列是等比数列由(1)知==(1)22\n当n=1时(1)式为0当n=2时(1)式为-12当时,又即(1)式>0．（2022新课标高考压轴卷（一）理科数学）在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且,.(1)求与;(2)设数列满足,求的前项和.【答案】解:(1)设的公差为.因为所以解得或(舍),.故,.(2)由(1)可知,,所以.故.．（2022届山东省高考压轴卷理科数学）设数列的前项积为,且.(Ⅰ)求证数列是等差数列;22\n(Ⅱ)设,求数列的前项和.【答案】【解析】(Ⅰ)由题意可得:,所以(Ⅱ)数列为等差数列,,,,．（2022届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）已知等比数列满足:,且是的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)若,,求使成立的正整数的最小值.【答案】(1)设等比数列的首项为,公比为,依题意,有由①及,得或.当时,②式不成立;当时,符合题意.把代入②得,所以.(2),∴,③22\n.④③-④得.由成立,得,即.又当时,;当时,.故使成立的正整数的最小值为5.．（2022届江苏省高考压轴卷数学试题）已知等差数列{an}的首项a1为a.设数列的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有.(1)求数列{an}的通项公式及Sn;(2)是否存在正整数n和k,使得Sn,Sn+1,Sn+k成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.【答案】．（2022届北京市高考压轴卷理科数学）已知数列是等差数列,是等比数列,且22\n,,.(1)求数列和的通项公式(2)数列满足,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)设的公差为,的公比为由,得,从而因此又,从而,故(Ⅱ)令两式相减得,又．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效)设数列的前n项和为已知(Ⅰ)设证明:数列是等比数列;(Ⅱ)证明:.【答案】解:(Ⅰ)22\n当时,又数列是以2为首项,公比为2的等比数列(Ⅱ)由(Ⅰ)知=．（2022届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）数列的前项和为,,,等差数列满足.(1)分别求数列,的通项公式;(2)设,求证.【答案】解:(1)由----①得----②,①②得,;22\n(2)因为所以所以所以．（2022届天津市高考压轴卷理科数学）已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,,点在直线上.(Ⅰ)求数列的通项公式和;(Ⅱ)设,求数列的前n项和.【答案】解:(Ⅰ)∵是与2的等差中项,∴①∴②由①-②得再由得∴.∴(Ⅱ)①.②①-②得:,即:,22\n∴．（2022届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）在等比数列中,已知,公比,等差数列满足.(Ⅰ)求数列与的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前n项和.【答案】【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为,等差数列的公差为.由已知得:,或(舍去),所以,此时所以,,.(Ⅱ)由题意得:当为偶数时,当为奇数时,所以,.．（2022届福建省高考压轴卷数学理试题）已知数列满足,其中N*.(Ⅰ)设,求证:数列是等差数列,并求出的通项公式;22\n(Ⅱ)设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(I)证明,所以数列是等差数列,,因此,由得.(II),,所以,依题意要使对于恒成立,只需解得或,所以的最小值为.．（2022届广东省高考压轴卷数学理试题）设数列的前项和为,且满足.(I)求证:数列为等比数列;(Ⅱ)设,求证:.【答案】证明:(Ⅰ),,又,是首项为,公比为的等比数列,且(Ⅱ)当时,,当时,.故22\n．（2022届海南省高考压轴卷理科数学）等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=an+(﹣1)lnan,求数列{bn}的前2n项和S2n.【答案】考点:数列的求和;等比数列;数列递推式.专题:计算题.分析:本题考查的是数列求和问题.在解答时:(Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{bn}的通项进行化简,然后结合通项的特点,利用分组法进行数列{bn}的前2n项和的求解.解答:解:(Ⅰ)当a1=3时,不符合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时符合题意;当a1=10时,不符合题意;所以a1=2,a2=6,a3=18,∴公比为q=3,故:an=2•3n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)∵bn=an+(﹣1)nlnan=2•3n﹣1+(﹣1)nln(2•3n﹣1)=2•3n﹣1+(﹣1)n[ln2+(n﹣1)ln3]=2•3n﹣1+(﹣1)n(ln2﹣ln3)+(﹣1)nnln3∴S2n=b1+b2++b2n=2(1+3++32n﹣1)+[﹣1+1﹣1++(﹣1)2n]•(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3++(﹣1)2n2n]ln3=2×1﹣32n1﹣3+nln3=32n+nln3﹣1∴数列{bn}的前2n项和S2n=32n+nln3﹣1.．（2022届四川省高考压轴卷数学理试题）已知数列的前项和和通项满足.(1)求数列的通项公式;22\n(2)若数列满足,求证:【答案】解:(Ⅰ)当时,,则,由题意可知,所以{}是公比为的等比数列,(II)证明:设∴∴．（2022届安徽省高考压轴卷数学理试题）已知数列满足且(1)求;(2)数列,满足,且当时,证明当时,;(3)在(2)的条件下,试比较与4的大小关系.【答案】【解析】(1)设,22\n由即时,数列是以为首项,1为公差的等差数列,所以分.(2)当时,由得,因为所以①所以②②-①,得,所以原命题正确(3)当时,,所以;当时,,所以由(2)知,当时,,即,故,所以,当时,③分因为,22\n所以③故分.．（2022届上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题8分.有个首项都是1的等差数列,设第个数列的第项为,公差为,并且成等差数列.(Ⅰ)证明(,是的多项式),并求的值;(Ⅱ)当时,将数列分组如下:(每组数的个数构成等差数列).设前组中所有数之和为,求数列的前项和.(Ⅲ)设是不超过20的正整数,当时,对于(Ⅱ)中的,求使得不等式成立的所有的值.2022上海市高考压轴卷【答案】本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题8分.解:(Ⅰ)由题意知.,同理,,,,.又因为成等差数列,所以.故,即是公差为的等差数列.所以,.令,则,此时.(Ⅱ)当时,.数列分组如下:.按分组规律,第组中有个奇数,所以第1组到第组共有个奇数.注意到前个奇数的和为,22\n所以前个奇数的和为.即前组中所有数之和为,所以.因为,所以,从而.所以..故.所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)得,.故不等式就是.考虑函数.当时,都有,即.而,注意到当时,单调递增,故有.因此当时,成立,即成立.所以,满足条件的所有正整数.．（2022届重庆省高考压轴卷数学理试题）若对于正整数,表示的最大奇数因数,例如,.设.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求,,的值;(Ⅲ)求数列的通项公式.【答案】解:(Ⅰ),(Ⅱ);22\n;(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对,有所以当时,于是,.所以,又,满足上式,所以对,．（2022届江西省高考压轴卷数学理试题）对于给定数列,如果存在实常数使得对于任意都成立,我们称数列是“数列”.(Ⅰ)若,,,数列、是否为“数列”?若是,指出它对应的实常数,若不是,请说明理由;(Ⅱ)证明:若数列是“数列”,则数列也是“数列”;(Ⅲ)若数列满足,,为常数.求数列前项的和.江西省高考压轴卷数学(理)试22\n【答案】解:(Ⅰ)因为则有故数列是“数列”,对应的实常数分别为.因为,则有故数列是“数列”,对应的实常数分别为(Ⅱ)证明:若数列是“数列”,则存在实常数,使得对于任意都成立,且有对于任意都成立,因此对于任意都成立,故数列也是“数列”.对应的实常数分别为(Ⅲ)因为,则有,,,.故数列前项的和22
