2022届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编11：概率一、选择题．（2022届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）如图,设是图中边长分别为1和2的矩形区域,是内位于函数图象下方的区域(阴影部分),从内随机取一个点,则点取自内的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】:将与图象交点记为,则,∴阴影部分的面积,而的面积为,∴所求概率.故选C．．（2022届安徽省高考压轴卷数学理试题）投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为,又表示集合的元素个数,,则的概率为（ ）A．B．c.D．【答案】A【解析】由知,函数和的图像有四个交点,所以的最小值,解得,所以的取值是.又因为的取值可能是种,故概率是,故选（ ）A．18\n．（2022届海南省高考压轴卷理科数学）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】答案:A考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.第8题图解析:令,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为,围成OC为,作对称轴OD,则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积,.在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和,,,扇形OAB面积,．（2022届江西省高考压轴卷数学理试题）已知随机变量服从正态分布,若,则（ ）A．0.477B．0.625C．0.954D．0.977【答案】C【解析】由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称,而,则,故,故选C．（2022届广东省高考压轴卷数学理试题）已知,A是曲线与围成的区域,若向区域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为（ ）A．B．C．D．18\n【答案】D区域A面积为二、填空题．（2022届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知随机变量服从正态分布,且,则等于_____________.【答案】0.3【解析】,则,又分布图像关于直线对称,,则,．（2022届江苏省高考压轴卷数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程=1表示双曲线的概率为________.【答案】．（2022届上海市高考压轴卷数学（理）试题）将正整数随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是_______________.【答案】【解析】将正整数随机分成两组,使得每组至少有一个数则有种,因为,所以要使两组中各数之和相,则有各组数字之和为14.则有;;;;;;;18\n共8种,所以两组中各数之和相等的概率是．（2022届北京市高考压轴卷理科数学）设不等式组表示的平面区域为.在区域内随机取一个点,则此点到直线的距离大于2的概率是________【答案】【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时,点D到直线的距离等于2,所以要使点D到直线的距离大于2,则点D应在三角形BCF中.各点的坐标为,所以,根据几何概型可知所求概率为.三、解答题．（2022届山东省高考压轴卷理科数学）(2022日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性女性合计反感10不反感8合计3018\n已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】【解析】(Ⅰ)男性女性合计反感10616不反感6814合计161430由已知数据得:,所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关(Ⅱ)的可能取值为所以的分布列为:012的数学期望为:．（2022届天津市高考压轴卷理科数学）袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为,求的分布列及数学期望E.【答案】解:(Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为从8个球中摸出2个小球的种数为18\n故所求概率为5分(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种:一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有种由题意知,随机变量的取值为,,.其分布列为:123．（2022届北京市高考压轴卷理科数学）本小题共14分为了参加年全省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级中选出人组成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表:班级高三()班高三()班高二()班高二()班人数(I)从这名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率;(II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中来自高三(7)班的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.【答案】解:(I)“从这18名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件,则(II)的所有可能取值为则∴的分布列为:01218\n∴．（2022届江西省高考压轴卷数学理试题）现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.(I)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(II)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(III)用分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.【答案】解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为,去参加乙项目联欢的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲项目联欢”为事件,,则.(Ⅰ)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率(Ⅱ)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件,,故.∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为(III)的所有可能取值为0,2,4.,所以的分布列是024．（2022届海南省高考压轴卷理科数学）18\n中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q≤80时,为酒后驾车;当Q>80时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2022年1月的某天晚上8点至11点在市区昌隆饭店设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内).(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和数学期望.【答案】解:(Ⅰ)(0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人.(Ⅱ)易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人;所以x的所有可能取值为0,1,2;P(x=0)==,P(X=1)==,P(x=2)==X的分布列为012.．（2022届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）我省某示范性高中为推进新课程改革,满足不同层次学生的要求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座).统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;18\n(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件,则.(2)的所有可能取值为.;;;;.;.所以,随机变量的分布列如下:故.．（2022届广东省高考压轴卷数学理试题）生产A,B两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于为正品,小于为次品.现随机抽取这两种元件各件进行检测,检测结果统计如下:测试指标元件A元件B(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量的分布列和数学期望;18\n(ⅱ)求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率.【答案】【答案】(Ⅰ)解:元件A为正品的概率约为元件B为正品的概率约为(Ⅱ)解:(ⅰ)随机变量的所有取值为;;;所以,随机变量的分布列为:(ⅱ)设生产的5件元件B中正品有件,则次品有件.依题意,得,解得.所以,或设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件,则．（2022新课标高考压轴卷（一）理科数学）某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者.(Ⅰ)所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.(Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率【答案】解:(I)ξ得可能取值为0,1,2;由题意P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=∴ξ的分布列、期望分别为:ξ012pEξ=0×+1×+2×=1(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C18\n男生甲被选中的种数为,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为∴P(C)=在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为．（2022届辽宁省高考压轴卷数学理试题）袋中有大小相同的个编号为、、的球,号球有个,号球有个,号球有个.从袋中依次摸出个球,已知在第一次摸出号球的前提下,再摸出一个号球的概率是.(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)从袋中任意摸出个球,记得到小球的编号数之和为,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】解:(1)记“第一次摸出号球”为事件,“第二次摸出号球”为事件,则,解得;(2)随机变量的取值为,的分布列为3456所以,数学期望．（2022届新课标高考压轴卷（二）理科数学）某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回.(Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为,求的分布列和数学期望;(Ⅱ)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.【答案】解:(1)的所有可能取值为0,1,2.设“第一次训练时取到个新球(即)”为事件(0,1,2).因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,所以,,18\n.所以的分布列为(注:不列表,不扣分)012的数学期望为.(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件.则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件.而事件、、互斥,所以,.由条件概率公式,得,,.所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为.．（2022届重庆省高考压轴卷数学理试题）(本小题满分13分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次),设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为,,,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:(Ⅰ)获赔的概率;(Ⅱ)获赔金额的分布列与期望.【答案】解:设表示第辆车在一年内发生此种事故,.18\n由题意知,,独立,且,,.(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为.(Ⅱ)的所有可能值为,,,.,,,.综上知,的分布列为求的期望有两种解法:解法一:由的分布列得18\n(元).解法二:设表示第辆车一年内的获赔金额,,则有分布列故.同理得,.综上有(元).．（2022届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效)在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出1点或2点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球.现在前后一共掷了4次骰子,设、分别表示甲、乙盒子中球的个数.(Ⅰ)求的概率;【答案】解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为(Ⅰ)若则只能有即在4次掷骰子中,有1次在甲盒中放球,有3次在乙盒中放球,因此所求概率(Ⅱ)由于所以的可能取值有0,2,4所以随机变量的分布列为:02418\n故随机变量的数学期望为．（2022届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F,从A,B,C,D,E,F六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为X(三点共线时,规定X=0)(1)求;(2)求E(X)【答案】【解析】解:⑴从六点中任取三个不同的点共有个基本事件,事件“”所含基本事件有,从而.⑵的分布列为:则.答:,.．（2022届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）(本小题满分12分)某次体能测试中,规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同).(1)求运动员甲最多参加两次测试的概率;(2)求运动员甲参加测试的次数x的分布列及数学期望(精确到0.1).【答案】⑴因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7运动员甲参加两次测试的概率是0.7×0.3=0.2118\n所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91⑵ξ的可能取值是1,2,3,4P(ξ=1)=0.7;P(ξ=2)=0.21;P(ξ=3)=0.063;P(ξ=4)=0.027;所以ξ的分布列为:ξ1234P0.70.210.0630.027所以Eξ=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027≈1.4．（2022届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）选聘高校毕业生到村任职,是党中央作出的一项重大决策,这对培养社会主义新农村建设带头人,引导高校毕业生面向基层就业创业具有重大意义.为响应国家号召,某大学决定从符合条件的名(其中男生名,女生名)报名大学生中选择人到某村参加村主任应聘考核.(1)设所选人中女生人数为,求的分布列及数学期望;(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.【答案】【解析】(Ⅰ):的所有可能取值为0,1,2.依题意得:,,.∴的分布列为012∴.(Ⅱ):设“男生甲被选中”为事件,“女生乙被选中”为事件,则,,∴.故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为.．（2022届福建省高考压轴卷数学理试题）已知甲箱中只放有x个红球与y个白球且,乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外,无其它区别).若甲箱从中任取2个球,从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P,求当P取得最大值时的值;(Ⅱ)当时,求取出的3个球中红球个数的期望.【答案】【解析】(I)由题意知,18\n当且仅当时等号成立,所以,当取得最大值时.(II)当时,即甲箱中有个红球与个白球,所以的所有可能取值为则,,,,所以红球个数的分布列为于是.．（2022届安徽省高考压轴卷数学理试题）某种产品在投放市场前,进行为期30天的试销,获得如下数据:日销销量(件)012345频数1361064试销结束后(假设商品的日销售量的分布规律不变),在试销期间,每天开始营业时商品有件,当天营业结束后,进行盘点存货,若发现存量小于件,则当天进货补充到件,否则不进货.(1)求超市进货的概率(2)记为第二天开始营业时该商品的件数,求的分布列和数学期望.【答案】【解析】(1)(2)的取值是即分布列是:34518\n所以数学期望是18
