第1讲 三角函数的图象与性质1．(2022·山东)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2．(2022·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z3．(2022·安徽)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )A．f(2)<f(－2)<f(0)B．f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2)D．f(2)<f(0)<f(－2)4．(2022·湖北)函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.21\n热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式(1)三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则的值为________．思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.B.C.D.(2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.热点二 三角函数的图象及应用21\n函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y＝sinxy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．例2 (1)(2022·河南省实验中学期中)已知函数y＝3sinωx(ω>0)的周期是π，将函数y＝3cos(ωx－)(ω>0)的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)等于( )A．3sin(2x－)B．3sin(2x－)C．－3sin(2x＋)D．－3sin(2x＋)(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则f()的值为________．思维升华 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．跟踪演练2 (1)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小正值为( )A.B.C.D.21\n(2)(2022·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A．5B．6C．8D．10热点三 三角函数的性质(1)三角函数的单调区间：y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．(2)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．例3 (2022·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.(1)求f()的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间． 21\n 思维升华 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程． 1．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A．[，]B．[，]21\nC．(0，]D．(0,2]2．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为( )A.B.C．8D．163．设函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin2x－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[－，]上的值域． 提醒：完成作业 专题三 第1讲21\n二轮专题强化练专题三第1讲 三角函数的图象与性质A组 专题通关1．若0≤sinα≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( )A.∪B.∪(k∈Z)C.∪D.∪(k∈Z)2．为了得到函数y＝cos(2x＋)的图象，可将函数y＝sin2x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx－2，则函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为( )A．[－，]B．[－1，]C．[，1]D．[－，]4．(2022·湖南)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ等于( )A.B.C.D.21\n5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为( )A.B.C.D.或6．函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________．7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．8．给出命题：①函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝sinπxcosπx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上是单调递增的；④若sin2α<0，cosα－sinα<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．9．(2022·重庆)已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．10．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；21\n(2)设g(x)＝f且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间．B组 能力提高11．将函数h(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象( )A．关于直线x＝0对称B．关于直线x＝1对称C．关于(1,0)点对称D．关于(0,1)点对称12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，若f(x0)＝3，x0∈(，)，则sinx0的值为( )21\nA.B.C.D.13．函数f(x)＝sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f()＝________.14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g()．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈[a，)时，h(x)有最小值为3，求a的值．21\n学生用书答案精析专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲 三角函数的图象与性质高考真题体验1．B [∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．]2．D [由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－<x<2k＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]3．A [由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin(2x＋)．于是f(0)＝A，f(2)＝Asin(4＋)，f(－2)＝Asin＝Asin，又∵－<－4<<4－<，其中f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin.又f(x)在单调递增，∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.]4．221\n解析 f(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．热点分类突破例1 (1)A (2)－解析 (1)设Q点的坐标为(x，y)，则x＝cos＝－，y＝sin＝.∴Q点的坐标为(－，)．(2)原式＝＝tanα.根据三角函数的定义，得tanα＝＝－，∴原式＝－.跟踪演练1 (1)D (2)解析 (1)tanθ＝＝＝－1，又sin>0，cos<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.(2)由三角函数定义，得cosα＝－，sinα＝，21\n∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.例2 (1)B (2)1解析 (1)由题意可知T＝＝π，所以ω＝2，所以y＝3cos(ωx－)(ω>0)的解析式为y＝3cos(2x－)＝3sin2x，再把图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝3sin2(x－)＝3sin(2x－)．(2)根据图象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，由ω＝＝2.又函数过点(，2)，所以有sin(2×＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)，因此f()＝2sin(＋)＝1.跟踪演练2 (1)D (2)C解析 (2)由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.例3 解 (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2[sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)]＝2sin(ωx＋φ＋)．因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋)＝0，又0<|φ|<，可得φ＝－，21\n所以f(x)＝2sinωx，由题意得＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2sin2x.因此f()＝2sin＝.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x－)的图象，所以g(x)＝f(x－)＝2sin[2(x－)]＝2sin(2x－)．当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．跟踪演练3 解 (1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝sin(2x＋)＋1＋a，则f(x)的最小正周期T＝＝π，且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增．所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．(2)当x∈[0，]时⇒≤2x＋≤，当2x＋＝，即x＝时sin(2x＋)＝1.所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.高考押题精练1．A [f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，21\n解得＋≤x≤＋(k∈Z)．由题意，函数f(x)在(，π)上单调递减，故(，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．由4k＋<2k＋，解得k<.由ω>0，可知k≥0，因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为[，]．]2．B [由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．则M(，－)，由两点间距离公式得，PM＝＝2，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，f(x)＝Asin(x－)，从而f(0)＝Asin(－)＝－8，得A＝.]3．解 (1)f(x)＝sin2x＋cos2x－cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)．所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin[2(x－)＋]＝－cos2x的图象，即g(x)＝－cos2x.21\n当x∈[－，]时，2x∈[－，]，可得cos2x∈[－，1]，所以－cos2x∈[－，]，即函数g(x)在区间[－，]上的值域是[－，]．21\n二轮专题强化练答案精析专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲 三角函数的图象与性质1．A [根据题意并结合正弦线可知，α满足∪(k∈Z)，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是∪.故选A.]2．C [y＝cos(2x＋)＝sin[＋(2x＋)]＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，因此，把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝cos(2x＋)的图象．]3．A [f(x)＝cos2x＋sinxcosx－2＝＋sinπx－2＝sinπx＋cosπx－＝sin(πx＋)－，令－≤πx＋≤，解得x∈[－，]．]4．D [因为g(x)＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以sin2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝.因为0<φ<，21\n所以0<－φ<，故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，则φ＝，故选D.]5．D [要使方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y＝f(x)与函数y＝m的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x＝或关于x＝对称，因此x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝.]6．2＋解析 因为0≤x≤9，所以－≤－≤，因此当－＝时，函数y＝2sin(－)取最大值，即ymax＝2×1＝2，当－＝－时，函数y＝2sin(－)取最小值，即ymin＝2sin(－)＝－，因此y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋.7．[－，3]解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]．8．①④解析 对于①，函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)＝sin(－x)，所以其最小值为－1；对于②，函数y＝sinπxcosπx＝sin2πx是奇函数，但其最小正周期为1；21\n对于③，函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减；对于④，由⇒cosα<0，sinα>0，所以α一定为第二象限角．9．解 (1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．10．解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)>0，得g(x)>1，∴4sin－1>1，∴sin>，∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，21\ng(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.11．D [依题意，将h(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后得y＝2sin[2(x－)＋]＋2，即f(x)＝2sin(2x－)＋2的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于点(0,1)对称．]12．B [由图象知A＝5，＝－＝π，∴T＝2π，∴ω＝＝1，且1×＋φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝5sin(x＋)．由f(x0)＝3，得sin(x0＋)＝，即sinx0＋cosx0＝，①又x0∈(，)，∴x0＋∈(，π)，∴cos(x0＋)＝－，即cosx0－sinx0＝－，②由①②解得sinx0＝.]13.解析 由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，所以|AB|＝f(x)max－f(x)min＝1－(－1)＝2，21\n即|AB|＝4，而T＝|AB|＝＝4，解得ω＝.所以f(x)＝sin，所以f()＝sin＝.14．解 (1)由题意，得·π＝2π2，所以ω＝1.又A＝2g()＝2tanπ＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin(x＋)．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4×sin2(x＋)＋2cos2x＝3(sinx＋cosx)2＋2cos2x＝3＋3sin2x＋(cos2x＋1)＝3＋＋2sin(2x＋)，又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin(2x＋)＝3，即sin(2x＋)＝－.因为x∈[a，)，所以2x＋∈[2a＋，)，所以2a＋＝－，即a＝－.21
