第3讲 平面向量1．(2022·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－2．(2022·四川)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于( )A．20B.15C．9D．63．(2022·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．4．(2022·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．18\n例1 (1)(2022·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2022·黄冈中学期中)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1(2)(2022·北京)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.热点二 平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2 (1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．18\n跟踪演练2 (1)(2022·山东)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________________________________________________________________________.(2)(2022·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值． 18\n思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 (2022·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值． 18\n1．如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量.则等于( )A.(a＋b)B.(a＋b)C.(a＋b)D.(a＋b)2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于( )A．－B．－C．－D．－3．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且a⊥b，则tan(2α＋)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·最小值是_______________________________________________________．二轮专题强化练18\n专题三第3讲 平面向量A组 专题通关1．(2022·佛山月考)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )A．(2,4)B．(3,5)C．(1,1)D．(－1，－1)2．(2022·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥3．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN边上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )A.B.C．1D．34．(2022·福建)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )A．13B．15C．19D．215．(2022·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比值为________．7．(2022·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F18\n分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．8．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．9．(2022·惠州二调)设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈[0，]．(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．10．已知向量a＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．18\nB组 能力提高11．已知非零单位向量a与非零向量b满足|a＋b|＝|a－b|，则向量b－a在向量a上的投影为( )A．1B.C．－1D．－12．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]13．(2022·江苏)设向量ak＝(k＝0,1,2，…，12)，则(ak·ak＋1)的值为________．14．(2022·陕西)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．18\n学生用书答案精析第3讲 平面向量高考真题体验1．A [∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.]2．C [＝＋，＝－＝－＋，∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，选C.]3．－3解析 ∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.4.＋1解析 设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又O＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.热点分类突破18\n例1 (1) (2)－解析 (1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法一 因为＝a，＝b，D为BC的中点，所以＝(a＋b)．所以＝＝(a＋b)．所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)＝a－b.所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.方法二 易得EF＝MD，MD＝CF，所以EF＝CF，所以CE＝CF.因为＝＋＝－＋＝－b＋a，所以＝(－b＋a)＝a－b.18\n所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.跟踪演练1 (1)C (2) －解析 (1)因为A，B，D三点共线，所以＝λ⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以所以mn＝1.(2)如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－，∴x＝，y＝－.例2 (1)22 (2)2解析 (1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.(2)如图，在△AOB中，＝＝×(＋)＝(＋)，又·＝||||·cos60°＝6，∴||||＝12，∴||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2＋12)≥×(2||||＋12)＝×36＝4(当且仅当||＝||时取等号)．∴||≥2，故||的最小值是2.跟踪演练2 (1) (2)90°解析 (1)由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，18\n∵P(1，)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝.∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝，则OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴·＝||||·cos∠APB＝××cos60°＝.(2)∵＝(＋)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈，〉＝90°.例3 解 (1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx，则2sinxcosx＝t2－1，且－1<t<.则y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－，即sin＝－，∵<x<π，∴<x＋<π，∴x＋＝π，∴x＝.∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.(2)∵a与b的夹角为，18\n∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0.∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.跟踪演练3 解 (1)由·＝2得c·acosB＝2.又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.解得或因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.高考押题精练1．C [因为DE∥BC，所以DN∥BM，则△AND∽△AMB，所以＝.18\n因为＝，所以＝.因为M为BC的中点，所以＝(＋)＝(a＋b)，所以＝＝(a＋b)．故选C.]2．B [∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.]3．－解析 因为a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且a⊥b，所以cosα＋2sinα＝0，则tanα＝－.所以tan2α＝＝－.所以tan(2α＋)＝＝＝＝－.4．－解析 因为＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋()2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以·＝||cos120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故当且仅当||＝时，·最小值是－.18\n二轮专题强化练答案精析第3讲 平面向量1．C [＝＝－＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．D [在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故选D.]3．B [如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝.]4.A [建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.]5．9解析 因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.6.解析 设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，18\n即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比值为.7.解析 在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos60°＋2×＋×1×cos60°＋××cos120°＝.8．[－，]解析 令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sinx)＋(，0)＝(2x＋，sinx)，∴消去x得d＝sin(c－)，∴y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．9．解 (1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈[0，]，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，18\n当x＝∈[0，]时，sin(2x－)取最大值1.所以f(x)的最大值为.10．解 (1)因为向量a＝(2sin(ωx＋)，0)，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，所以函数f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋)cosωx＝4[sinωx·(－)＋cosωx·]cosωx＝2·cos2ωx－2sinωxcosωx＝(1＋cos2ωx)－sin2ωx＝2cos(2ωx＋)＋，由题意，可知f(x)的最小正周期为T＝π，所以＝π，即ω＝1.(2)易知f(x)＝2cos(2x＋)＋，当x∈[0,2π]时，2x＋∈[，4π＋]，故2x＋∈[π，2π]或2x＋∈[3π，4π]时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[，]和[，]．11．C [因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，解得a·b＝0，所以向量b－a在向量a上的投影为|b－a|cos〈a，b－a〉＝＝＝－|a|＝－1.]12．A [∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝，∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0<c2＋1≤2|c|，∴c2－2|c|＋1≤0，∴－1≤|c|≤＋1.]13．918\n解析 ∵ak＝，∴ak·ak＋1＝·＝cos·cosπ＋·＝cos＋cosπ＋sinπ.故(ak·ak＋1)＝＝os＋osπ＋inπ.由osπ＝0，inπ＝0，得(ak·ak＋1)＝cos×12＝9.14．解 (1)方法一 ∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴解得即＝(2,2)，故||＝2.方法二 ∵＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2,2)，∴||＝2.(2)∵＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.18
