高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2022·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．8\n2．(2022·福建)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度．(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m的取值范围；②证明：cos(α－β)＝－1.8\n3．(2022·湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．(1)证明：B－A＝；(2)求sinA＋sinC的取值范围．8\n4.如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．5．已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f()＝－，a＝3，b＋c＝2，求△ABC的面积．8\n答案精析高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．解 (1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.2．方法一 (1)解 将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象，再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sinx．从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)．(2)①解 f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝＝sin(x＋φ).依题意，sin(x＋φ)＝在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，)．②证明 因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，8\n即α－β＝π－2(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1＝22－1＝－1.方法二 (1)同方法一．(2)①同方法一．②证明 因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时，α＋β＝2，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos[(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－＋2＝－1.3．(1)证明 由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，又B为钝角，故sinB＝sin.因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.(2)解 由(1)知，8\nC＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－22＋.因为0＜A＜，所以0＜sinA＜，因此＜－22＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.4．解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.5．解 (1)f(x)＝cosx(sinx－cosx)＝sinxcosx－cos2x＝－－＝sin(2x－)－.8\n当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋，k∈Z，即x∈{x|x＝kπ＋，k∈Z}时，f(x)取最大值1－.(2)由f()＝－，可得sin(A－)＝0，因为A为△ABC的内角，所以A＝，则a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，由a＝3，b＋c＝2，解得bc＝1，所以S△ABC＝bcsinA＝.8
