回扣2 函数与导数[知识方法回顾]1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域；③实际问题应使实际问题有意义.(2)常见函数的值域①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：a>0时，值域为，a<0时，值域为；③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}；④指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的值域是全体正实数；⑤对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的值域为R.2.函数的性质(1)函数的奇偶性奇偶性是函数在定义域上的整体性质①偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的区间上具有相反的单调性；②奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的区间上具有相同的单调性；③若f(x)为奇函数且0在其定义域内则f(0)＝0；④若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|).(2)函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质.①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数5\ny＝f[g(x)]的单调性.(3)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期为T＝|a|.②常见两种形式：f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝(a≠0)，m为非零常数，则2a为f(x)的一个周期.③若已知函数f(x)相邻的两个对称中心或两条对称轴，则相邻两对称中心或两对称轴之间距离的2倍为f(x)的一个周期.④若已知函数f(x)的一个对称中心和相邻的一条对称轴，则对称中心到对称轴距离的4倍为f(x)的一个周期.3.函数图象(1)利用基本函数图象的变换作图①平移变换：y＝f(x)y＝f(x－h)，y＝f(x)y＝f(x)＋k.②伸缩变换：y＝f(x)y＝f(ωx)，y＝f(x)y＝Af(x).③对称变换：y＝f(x)y＝－f(x)，y＝f(x)y＝f(－x)，y＝f(x)y＝－f(－x).(2)函数图象的对称性①如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则这个函数图象关于直线x＝对称，反之亦然；②如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝－f(b－x)，则这个函数图象关于中心对称，反之亦然.注意这个结论中b＝a的情况.4.熟记指数式与对数式的七个运算公式5\nam·an＝am+n；(am)n＝amn；loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0).5.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减.6.函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点.(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点.③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.7.导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上.8.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集.9.利用导数研究函数的极值与最值5\n(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点.(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.10.定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx.③ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a<c<b).(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a).[易错易忘提醒]1.函数的定义域与值域都是一个集合，最后结果要写成集合或区间的形式.2.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.3.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.4.函数的零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标.5.画函数图象或由解析式辨别其函数图象时注意函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质的应用.6.解决与指数函数、对数函数有关问题时，要注意对底数取值范围的讨论.7.求曲线在某点处的切线方程时，首先要检验该点是否在曲线上.若该点在曲线上，则直接利用导函数的几何意义表示切线斜率；若该点不在曲线上，则应设出切点坐标，利用导数的几何意义和斜率公式建立方程，确定切点坐标和切线方程.8.记准基本初等函数的求导公式和基本的求导法则.特别要记准(sinx)′＝cosx；(cosx5\n)′＝－sinx；以及除式求导法则：′＝.9.求可导函数f(x)的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，但要注意两点：一是解不等式必须在函数的定义域内，不能把导函数解析式的定义域当成函数的定义域；二是函数的单调区间不能“并”.10.已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)>0的解集为(a，b).11.f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.12.函数f(x)的极大值与极小值之间无大小关系，极大值也可能比极小值小.13.要注意区别极值和最值，最值是函数的整体性质，而极值是函数的局部性质；最值反映了函数值的取值情况，而极值反映了导函数符号的变化情况.5
