【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月第三篇回扣专项练6立体几何理1.设m、n是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A.m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB.m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC.m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD.m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β2.已知空间中有不共线的三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A.AB∥CDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥βC.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD.α内的任何直线都与β平行4.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M，则·≥1的概率p等于( )A.B.C.D.5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )10\nA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定6.如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴运动.当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.8.已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB＝PC＝1cm，则球的表面积为________cm2.9.如图①所示，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且CD＝BE＝，O为BC的中点，将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′—BCDE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值是________.10.如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，10\nPC的中点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC.11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为CC1，AD的中点，F为BB1上的点，且B1F＝3BF.10\n(1)证明：EF∥平面ABC；(2)若AC＝2，CC1＝2，BC＝，∠ACB＝，求二面角B—AD—C的大小.12.如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝AB＝4，M是PA的中点.10\n(1)证明：平面PBC∥平面ODM；(2)求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.10\n答案精析回扣专项练61.B[设m与n相交，m、n都在平面γ内，γ∥α，γ∥β时，满足A的条件，∴A错；若m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，又n⊥β，∴n⊥m，∴B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，结合n⊂β得不出α⊥β，故C错；当m∥n且满足D的条件时，得不出α∥β，故D错.]2.D[若三条线段共面，则直线AB与CD相交或平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线.]3.D[当α∩β＝l时，α内与l平行的直线都与β平行，∴A错；当α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β时，满足B的条件，∴B错；当α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l时，有a∥β，b∥α，∴C错，故选D.]4.A[可解得||cosθ≥，也即在上的投影大于或等于.由几何概型的求法知，p＝＝.]5.B[因为PB⊥α，所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC.所以AC⊥BC.所以△ABC为直角三角形.]6.2解析 取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，故DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝＝2.7.解析 由几何体的三视图可知，该几何体的底面是边长为2的正三角形，三条侧棱分别垂直于底面，且两条侧棱的长度是2，一条侧棱的长度为1，故其体积为×2××1＋×2×1×10\n＝.8.解析 如图所示，P、A、B、C四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥P—ABC的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a＝，球的半径R＝＝，∴S球＝4πR2＝.9.解析 如图，过点D作DH⊥BC于点H，连接A′H.∵A′O⊥平面BCDE，A′O⊂平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面BCDE.又平面A′BC∩平面BCDE＝BC，∴DH⊥平面A′BC.∴∠DA′H即为A′D与平面A′BC所成的角.又DH＝1，A′D＝3－＝2，∴sin∠DA′H＝＝，∴A′D与平面A′BC所成角的正弦值为.10.证明 (1)如图，连接AC，BE，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，10\n所以O为AC的中点.又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF，又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE，因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，且AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BE⊥平面PAC.11.(1)证明 设AC的中点为O，连接EO，OB，由题意知EO∥CC1，且EO＝CC1，BF∥CC1，且BF＝CC1，∴EO∥FB，且EO＝FB.∴四边形EFBO是平行四边形.∴EF∥OB.又EF⊄平面ABC，BO⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)解 作BG⊥AC，BH⊥AD，连接GH，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴BG⊥平面AA1C1C.∵AD⊂平面AA1C1C，∴BG⊥AD.又BH∩BG＝B，∴AD⊥平面BHG.∴HG⊥AD.∴∠BHG为二面角B—AD—C的平面角.10\n由已知得△ABC为直角三角形，AB＝.在Rt△ABC中，由S△ABC＝AB·BC＝BG·AC得BG＝，在Rt△ABD中，由S△ABD＝AB·BD＝AD·BH，得BH＝，在Rt△BHG中，sin∠BHG＝＝，则∠BHG＝.故二面角B—AD—C的大小为.12.(1)证明 因为O，M分别为AB，AP的中点，所以OM∥PB.因为CD＝AB，O为AB的中点，所以CD＝BO，又因为CD∥AB，所以四边形OBCD为平行四边形，所以BC∥OD.因为BC∩PB＝B，DO∩OM＝O，所以平面PBC∥平面ODM.(2)解 方法一 延长AD，BC交于点E，连接PE，则平面PBC∩平面PAD＝PE.易知PB＝PA，EB＝EA，PE＝PE，所以△PBE与△PAE全等.过点A作AQ⊥PE于点Q，连接BQ，则BQ⊥PE，由二面角定义可知，∠AQB为所求角或其补角.易求得PE＝8，AE＝8，PA＝4，由等积法求得AQ＝2＝BQ，所以cos∠AQB＝＝＝－<0，所以所求角为π－∠AQB，所以cos(π－∠AQB)＝，10\n因此平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为.方法二 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0,4)，B(－4,0,0)，A(4,0,0)，C(－2，－2，0)，D(2，－2，0).因为＝(－4,0，－4)，＝(2，－2，0)，所以易求得平面PBC的一个法向量n1＝(，1，－).又＝(4,0，－4)，＝(－2，－2，0)，所以易求得平面PAD的一个法向量n2＝(，－1，).设θ为平面PBC与平面PAD所成的锐二面角，则cosθ＝＝，所以平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为.10
