第3讲 概率与统计离散型随机变量分布列及均值、方差的综合问题例题 (12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的频率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？规范解答解 (1)依题意，得p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X>120)＝＝0.1.[3分]由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝()4＋4×()3×＝0.9477.[6分](2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.[7分]②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y5\n＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.[9分]③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.[11分]综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.[12分]评分细则第(1)问得分点1.求出各段的概率得3分，每求对一个得1分.2.求出未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率得3分.第(2)问得分点1.求出概率分布列得2分；分布列错，求对所有概率得1分.2.求对均值得1分，公式对结果错误不得分.第一步：分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的取值；第二步：根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率；第三步：列出分布列的表格；第四步：根据均值的定义式或计算公式求解其值；第五步：反思回顾，根据分布列的性质检验结果是否正确，计算是否正确.跟踪训练5\n1.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功.已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望. 2.某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会是相同的.(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，试求出n与x的值；(2)在(1)的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列. 5\n答案精析第3讲 概率与统计跟踪训练1.解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则P()＝＝＝，P()＝(1－)3＋C·(1－)2＝＋＝，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P(·)＝1－P()·P()＝1－×＝.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，则ξ的分布列为ξ12P∴E(ξ)＝1×＋2×＝.2.解 (1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为，而从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总方法数为C＝，2位学生中恰有1位女学生的方法数为CC＝(n－3)×3.依题意可得＝＝，化简得n2－11n＋30＝0，解得n1＝5，n2＝6.当n＝5时，x＝5－3＝2；当n＝6时，x＝6－3＝3.故所求的值为或(2)当时，X可能的取值为0,1,2，X＝0表示只选派2位男生，这时P(X＝0)＝＝，5\nX＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X＝1)＝＝，X＝2表示只选派2位女生，这时P(X＝2)＝＝.X的分布列为X012P当时，X可能的取值为0,1,2，X＝0表示只选派2位男生，这时P(X＝0)＝＝，X＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X＝1)＝＝，X＝2表示只选派2位女生，这时P(X＝2)＝＝.X的分布列为X012P5
