第2讲 带电粒子在复合场中的运动高考题型1 带电粒子在叠加场中的运动解题方略带电粒子在叠加场中运动的处理方法1．弄清叠加场的组成特点．2．正确分析带电粒子的受力及运动特点．3．画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.(2)若三场共存时，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直．(3)若三场共存时，粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.(4)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．例1 (2022·漳州三模)如图1在xOy坐标系第Ⅰ象限，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小均为B＝1.0T；电场方向水平向右，电场强度大小均为E＝N/C.一个质量m＝2.0×10－7kg，电荷量q＝2.0×10－6C的带正电粒子从x轴上P点以速度v0射入第Ⅰ象限，恰好在xOy平面中做匀速直线运动.0.10s后改变电场强度大小和方向，带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，取g＝10m/s2.求：图1(1)带电粒子在xOy平面内做匀速直线运动的速度v0大小和方向；(2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时电场强度的大小和方向；(3)若匀速圆周运动时恰好未离开第Ⅰ象限，x轴上入射P点应满足何条件？12\n 预测1 (2022·临沂5月模拟)如图2所示，在直角坐标系xOy的第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E1，在y轴的左侧存在垂直于纸面的匀强磁场．现有一质量为m，带电荷量为－q的带电粒子从第二象限的A点(－3L，L)以初速度v0沿x轴正方向射入后刚好做匀速直线运动，不计带电粒子的重力．图2(1)求匀强磁场的大小和方向；(2)撤去第二象限的匀强磁场，同时调节电场强度的大小为E2，使带电粒子刚好从B点(－L,0)进入第三象限，求电场强度E2的大小；(3)带电粒子从B点穿出后，从y轴上的C点进入第四象限，若E1＝2E2，求C点离坐标原点O的距离． 12\n高考题型2 带电粒子在组合场中的运动分析解题方略1．带电粒子在电场中常见的运动类型(1)匀变速直线运动：通常利用动能定理qU＝mv2－mv来求解．对于匀强电场，电场力做功也可以用W＝qEd求解．(2)偏转运动：一般研究带电粒子在匀强电场中的偏转问题．对于类平抛运动可直接利用平抛运动的规律以及推论；较复杂的曲线运动常用运动分解的方法来处理．2．带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型(1)匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动．(2)匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做匀速圆周运动．3．设带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，解决方法如下：(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律．在匀强磁场中做匀速圆周运动．在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动．(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理．(3)当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破口．例2 (2022·福州市5月模拟)如图3所示，在第一象限有向下的匀强电场，在第四象限有垂直纸面向里的有界匀强磁场．在y轴上坐标为(0，b)的M点，一质量为m，电荷量为q的正点电荷(不计重力)，以垂直于y轴的初速度v0水平向右进入匀强电场．恰好从x轴上坐标为(2b,0)的N点进入有界磁场．磁场位于y＝－0.8b和x＝4b和横轴x、纵轴y所包围的矩形区域内．最终粒子从磁场右边界离开．求：图312\n(1)匀强电场的场强大小E；(2)磁感应强度B的最大值；(3)磁感应强度B最小值时，粒子能否从(4b，－0.8b)处射出？画图说明． 预测2 (2022·桂林三模)如图4所示，有三个宽度均相等的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；区域Ⅰ和Ⅲ内分别有方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场(虚线为磁场边界)，区域Ⅰ磁感应强度大小为B，某种带正电的粒子，从孔O1以大小不同的速度沿图示与aa′夹角α＝30°的方向进入磁场(不计重力)．已知速度为v0和2v0时，粒子在区域Ⅰ内运动都不从边界bb′射出，且运动时间相同，均为t0.图4(1)试求出粒子的比荷；速度为2v0的粒子从区域Ⅰ射出时的位置离O1的距离L；(2)若速度为v的粒子在区域Ⅰ内的运动时间为，在图示区域Ⅱ中，O1O2上方加竖直向下的匀强电场，O1O2下方对称加竖直向上的匀强电场，场强大小相等，速度为v的粒子恰好每次均垂直穿过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域的边界并能回到O1点，求所加电场强度大小与区域Ⅲ磁感应强度大小． 12\n高考题型3 带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析解题方略变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动径迹的草图．例3 (2022·山东省师大附中模拟)如图5所示，在x轴上方有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1＝B0，在x轴下方有交替分布的匀强电场和匀强磁场，匀强电场平行于y轴，匀强磁场B2＝2B0垂直于xOy平面，图象如图6甲、乙所示．一质量为m、电荷量为－q的粒子在t＝t0时刻沿着与y轴正方向成60°角方向从A点射入磁场，t＝2t0时刻第一次到达x轴，并且速度垂直于x轴经过C点，C与原点O的距离为3L.第二次到达x轴时经过x轴上的D点，D与原点O的距离为4L.(不计粒子重力，电场和磁场互不影响，结果用B0、m、q、L表示)图5图6(1)求此粒子从A点射出时的速度v0.(2)求电场强度E0的大小和方向．(3)粒子在t＝9t0时到达M点，求M点坐标．12\n预测3 (2022·陕西宝鸡二模)如图7甲所示，在边长为L的正方形abcd区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在匀强磁场区域的左侧有一电子枪，电子枪的阴极在单位时间内产生的电子数相同，电子枪的两极间加如图乙所示的加速电压，电子从电子枪射出后沿bc方向进入匀强磁场区域，已知电子的荷质比(比荷)为，电子运动中不受任何阻力，电子在电子枪中运动的时间忽略不计，求：图7(1)进入磁场的电子在磁场中运动的最长时间t1与最短时间t2的比值；(2)若在0～T0时间内射入磁场的电子数为N0，则这些电子中有多少个电子从dc边射出磁场？ 学生用书答案精析第2讲 带电粒子在复合场中的运动高考题型1 带电粒子在叠加场中的运动例1 (1)2m/s 方向斜向上与x轴夹角为60° (2)1N/C 方向竖直向上 (3)0.27m12\n解析 (1)如图粒子在复合场中做匀速直线运动，设速度v0与x轴夹角为θ，依题意得：重力mg＝2.0×10－6N，电场力F电＝qE＝2×10－6N洛伦兹力：F洛＝＝4.0×10－6N由F洛＝qv0B得v0＝2m/stanθ＝＝，所以：θ＝60°速度v0大小为2m/s，方向斜向上与x轴夹角为60°(2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时，电场力F电必须与重力平衡，洛伦兹力提供向心力．故电场强度：E′＝＝1N/C，方向竖直向上．(3)如图带电粒子做匀速圆周运动恰好未离开第Ⅰ象限，圆弧左边与y轴相切N点；PQ匀速直线运动，PQ＝v0t＝0.2m洛伦兹力提供向心力：qv0B＝m，整理并代入数据得R＝0.2m由几何知识得：OP＝R＋Rsin60°－PQcos60°≈0.27m.故：x轴上入射P点离O点距离至少为0.27m.预测1 (1) 方向垂直纸面向外(2) (3)(－1)L解析 (1)带电粒子做匀速直线运动，其所受合力为零，带电粒子受到的电场力沿y12\n轴负方向，所以带电粒子受到的洛伦兹力方向沿y轴正方向，根据左手定则判定磁场方向垂直纸面向外根据带电粒子受到的洛伦兹力等于电场力，即：qv0B＝qE1①解得：B＝②(2)撤去磁场后，带电粒子仅受电场力作用做类平抛运动．根据牛顿第二定律：qE2＝ma③x轴方向：2L＝v0t④y轴方向：L＝at2⑤解得：E2＝⑥(3)带电粒子穿过B点时竖直速度：v1＝at⑦由④⑤⑦解得：v1＝v0⑧则通过B点时的速度v＝＝v0⑨与x轴正方向的夹角sinθ＝＝⑩θ＝45°⑪带电粒子在第三象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB＝⑫E1＝2E2⑬由(1)知B＝＝⑭由⑥⑨⑫⑭解得：R＝L⑮CO＝(－1)L.高考题型2 带电粒子在组合场中的运动分析例2 (1) (2) (3)不能，见解析图解析 (1)粒子在匀强电场中做类平抛运动：竖直位移为y＝b＝at212\n水平位移为x＝2b＝v0t其加速度a＝可得电场强度E＝(2)根据动能定理，设粒子进入磁场时的速度大小为v有mv2－mv＝qEb代入E可得v＝v0v与正x轴的夹角θ有cosθ＝＝所以θ＝45°粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m⇒B＝＝磁场越强，粒子运动的半径越小，从右边界射出的最小半径即从磁场右上角(4b,0)处射出，由几何关系得：rmin＝＝b可得Bmax＝(3)不能．如图：预测2 (1) (2)Bv(2n＋1)2(n＝0,1,2,3…) 2B解析 (1)由题意可得速度为v0和2v0的粒子均由区域Ⅰ左侧aa′射入磁场12\n则粒子转过的圆心角为π故t0＝TT＝解得：＝对速度为2v0的粒子在区域Ⅰ运动：Bq(2v0)＝mr＝＝由几何关系可得L＝r＝(2)当速度为v时，在第Ⅰ区域中tⅠ＝，圆心角θ＝60°Bqv＝mR＝＝第Ⅰ区域的宽度为d＝Rsin60°＝在第Ⅱ区域中，R(1－cos60°)＝t2x＝vt2x＋4nx＝d(n＝0,1,2,3，…)得E＝Bv(2n＋1)2(n＝0,1,2,3…)在第Ⅲ区域中，带电粒子做圆周运动的半径为R′＝即＝所以：B′＝2B.12\n高考题型3 带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析例3 (1) (2)，方向为平行于y轴向下 (3)(12L,2L)解析 (1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R1，由洛伦兹力提供向心力得：qv0B1＝m①根据题意由几何关系可得：3L＝R1＋R1②联立①②得：v0＝③(2)设粒子在第一象限磁场中运动的周期为T1，可得：T1＝④设粒子在第四象限磁场中运动的周期为T2，可得：T2＝⑤根据题意由几何关系可得：T1＝t0⑥可得：T1＝4t0⑦T2＝2t0⑧综上可以判断3t0～4t0粒子在第四象限的磁场中刚好运动半个周期，半径为：R2＝⑨由牛顿第二定律得：qv2B2＝m⑩2t0～3t0，粒子做匀减速直线运动，qE0＝ma，v2＝v0－at0综上解得：E0＝，方向为平行y轴向下．(3)由题意知，粒子在8t0时刚在第四象限做完半个圆周运动，半径R3＝R1＝L，在9t0时粒子在第一象限转圆周，根据几何关系知：x＝12L，y＝2L，联立可得M点的坐标为(12L,2L)．预测3 (1)6∶1 (2)N012\n解析 (1)设粒子进入磁场的最大速度为vm，根据动能定理得，e·＝mv，解得最大速度vm＝，则粒子在磁场中运动的最大轨道半径rm＝＝2L.此时对应的圆心角最小，根据几何关系得，圆心角θ1＝，此时运动的时间最短，最短时间t2＝T＝，粒子在磁场中运动的最大圆心角为π，则最长时间t1＝T，可知：t1∶t2＝6∶1.(2)粒子从d点射出时，轨道半径为r＝L，根据r＝知，粒子进入磁场时的速度v＝＝，根据动能定理得，eU′＝mv2，解得U′＝，可知电压范围为≤U≤，电子从dc边射出磁场，由图象可知在≤t≤T0时间内的电子从dc边射出磁场，粒子的个数n＝N0.12
