第8讲 带电粒子在复合场中的运动专题提升训练一、选择题1.(2022·大同一模)如图1所示，沿直线通过速度选择器的正离子从狭缝S射入磁感应强度为B2的匀强磁场中，偏转后出现的轨迹半径之比为R1∶R2＝1∶2，则下列说法正确的是( )图1A.离子的速度之比为1∶2B.离子的电荷量之比为1∶2C.离子的质量之比为1∶2D.以上说法都不对解析 因为两离子能沿直线通过速度选择器，则qvB1＝qE，即v＝，所以两离子的速度相同，选项A错误；根据R＝，则∶＝＝，选项B、C错误，故选D。答案 D2.(多选)粒子回旋加速器的工作原理如图2所示，置于真空中的D形金属盒的半径为R，两金属盒间的狭缝很小，磁感应强度为B的匀强磁场与金属盒盒面垂直，高频交流电源的频率为f，加速电场的电压为U，若中心粒子源处产生的质子质量为m，电荷量为＋e，在加速器中被加速。不考虑相对论效应，则下列说法正确的是( )图2A.不改变磁感应强度B和交流电的频率f，该加速器也可加速α粒子B.加速的粒子获得的最大动能随加速电场的电压U增大而增大C.质子被加速后的最大速度不能超过2πRfD.质子第二次和第一次经过D形盒间狭缝后轨道半径之比为∶16\n解析 质子被加速获得的最大速度受到D形盒最大半径制约，vm＝＝2πRf，C正确；粒子旋转频率为f＝，与被加速粒子的比荷有关，故需改变交流电的频率才能加速α粒子，A错误；粒子被加速的最大动能Ekm＝mv＝2mπ2R2f2，与电压U无关，B错误；因为运动半径R＝，nUq＝mv2，所以R＝，知质子第二次和第一次经过D形盒间狭缝后的轨道半径比为∶1，D正确。答案 CD二、非选择题3.(2022·江西省南昌市高三调研)如图3所示，有一对平行金属板，板间加有恒定电压；两板间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向里。金属板右下方以MN、PQ为上、下边界，MP为左边界的区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场宽度为d，MN与下极板等高，MP与金属板右端在同一竖直线上。一电荷量为q、质量为m的正离子，以初速度v0沿平行于金属板面、垂直于板间磁场的方向从A点射入金属板间，不计离子的重力。图3(1)已知离子恰好做匀速直线运动，求金属板间电场强度的大小；(2)若撤去板间磁场B0，已知离子恰好从下极板的右侧边缘射出电场，方向与水平方向成30°角，求A点离下极板的高度；(3)在(2)的情形中，为了使离子进入磁场运动后从边界MP的P点射出，磁场的磁感应强度B应为多大？解析 (1)设板间的电场强度为E，离子做匀速直线运动，受到的电场力和洛伦兹力平衡，有qE＝qv0B0解得E＝v0B0(2)设A点离下极板的高度为h，离子射出电场时的速度为v，根据动能定理，得qEh＝mv26\n－mv离子在电场中做类平抛运动，水平分方向做匀速运动，有v＝＝解得h＝(3)设离子进入磁场后做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律，得qvB＝由几何关系得＝rcos30°解得B＝答案 (1)v0B0 (2) (3)4.在xOy平面第一、二象限中，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E＝，在第三、四象限中分别存在垂直于xOy平面、方向如图4所示的匀强磁场，磁感应强度B2＝2B1＝2B，带电粒子a、b先后从第一、二象限的P、Q两点(图中没有标出)由静止释放，结果两粒子同时进入匀强磁场B1、B2中，再经时间t第一次经过y轴时恰在点M(0，－l)发生正碰，碰撞前带电粒子b的速度方向与y轴正方向成60°角，不计粒子重力和两粒子间相互作用。求：图4(1)两带电粒子的比荷及在磁场中运动的轨道半径；(2)两带电粒子释放的位置P、Q两点坐标及释放的时间差。解析 (1)a、b两粒子在y轴上发生正碰时粒子b的速度与y轴正方向成60°角，两粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，两粒子在磁场中运动时间相等且为t，即t1＝t2＝t，而t1＝＝，t2＝＝①代入B2＝2B1＝2B得＝＝②由题意分析可知两粒子的轨道半径相等，且R1＝R2＝R＝＝2l。③6\n(2)由v＝可得两粒子进入磁场时的速度大小分别为v1＝＝④v2＝＝⑤粒子在电场中加速，由动能定理得qEd＝mv2⑥由②④⑤⑥及E得d1＝2l，d2＝8l⑦由图可知xP＝R1－R1cos60°＝l，xQ＝－(R2＋R2cos60°)＝－3l⑧则P、Q两点的坐标分别为P(l，2l)、Q(－3l，8l)⑨粒子在电场中的运动时间为t＝⑩其中加速度a＝⑪由②⑩⑪及E可得释放的时间差Δt＝(v2－v1)⑫代入④⑤解得Δt＝。答案 (1)2l (2)P(l，2l)，Q(－3l，8l) 5.如图5甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向。在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为(，0)。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：＝；粒子的比荷满足：＝。求：图5(1)在t＝时，粒子的位置坐标；(2)粒子偏离x轴的最大距离；6\n(3)粒子运动至A点的时间。解析 (1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qB0v0＝mr1＝m解得T＝2t0，r1＝＝则粒子在时间内转过的圆心角α＝所以在t＝时，粒子的位置坐标为(，)。(2)在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示则v＝v0＋t0＝2v0运动的位移x＝t0＝1.5v0t0在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动，半径r2＝2r1＝故粒子偏离x轴的最大距离h＝x＋r2＝1.5v0t0＋。(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的周期为4t0故粒子在一个周期内向右运动的距离d＝2r1＋2r2＝AO间的距离为＝8d所以，粒子运动至A点的时间t＝32t0。答案 (1)(，) (2)1.5v0t0＋ (3)32t06.如图6所示，矩形区域abcdef分为两个矩形区域，左侧区域充满匀强电场，方向竖直向上，右侧区域充满匀强磁场，方向垂直纸面向外，be为其分界线。af＝L，ab＝0.75L，磁场区域的宽度未知。一质量为m、电荷量为e的电子(重力不计)从a点沿ab方向以初速度v0射入电场，从be边的中点g进入磁场。(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)图6(1)求匀强电场的电场强度E的大小；6\n(2)若电子能从d点沿ed方向飞出磁场，则磁场区域的宽度ed为多少？(3)若磁场区域的宽度为L，要求电子只能从bc边射出磁场，则磁感应强度应该满足什么条件？解析 (1)电子在电场中做类平抛运动，有＝，0.75L＝v0t由牛顿第二定律有eE＝ma，联立解得：E＝。(2)电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，图中O为圆心，粒子进入磁场时，其速度方向的反向延长线过ab中点，则速度方向与be边夹角的正切值tanθ＝＝0.75，θ＝37°设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，则r＝rsin37°＋，解得r＝L。所以磁场区域宽度ed＝rcos37°＝L。(3)电子进入磁场时的速度为v＝v0画出两条临界轨迹如图，设电子刚好不从cd边射出时半径为r1，则由 几何关系知r1＋r1cos37°＝L，解得r1＝L设电子刚好不从bc边射出时半径为r2，则＝r2＋r2sin37°，解得r2＝L由evB＝可得对应的磁感应强度：B1＝，B2＝所以电子只能从bc边射出的条件为≤B＜。答案 (1) (2)L (3)≤B＜6
