北京科技大学附中2022版高考数学二轮复习冲刺训练提升：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用反证法证明命题＂如果a>b,那么a3>b3＂时,下列假设正确的是()A．a3<b3B．a3<b3或a3=b3C．a3<b3且a3=b3D．a3>b3【答案】B2．已知是锐角，则下列各式成立的是()A．B．C．D．【答案】C3．每设则()A．都不大于B．都不小于C．至少有一个不大于D．至少有一个不小于【答案】C4．观察式子：，，，，则可归纳出式子为()A．B．C．D．【答案】C5．用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．则假设的内容是()A．，都能被5整除B．，都不能被5整除C．不能被5整除D．，有1个不能被5整除【答案】B6．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于()A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【答案】A7．某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点。你认为以上推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A8．我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：6\n，再两边同时求导得到：，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是()A．（，4）B．（3，6）C.（0，）D．（2，3）【答案】C9．给出下列四个推导过程：①∵a，b∈Ｒ＋， ∴（b／a）+（a／b）≥2=2; ②∵x，y∈Ｒ＋， ∴lgx+lgy≥2; ③∵a∈R，a≠0， ∴（4／a）+a≥2=4; ④∵x，y∈R，xy＜0， ∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2=-2.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】D10．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是()A．132B．255C．259D．260【答案】C11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．13786\n【答案】C12．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．以上推理的方法是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上都不是【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对法数：在函数解析式两边求对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是。【答案】14．观察下列等式，1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…从中归纳出的一般性法则是____________【答案】15．已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3,…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1(n∈N*)，则a=____________．【答案】16．已知：中，于，三边分别是，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体中，，的面积分别是，二面角的度数分别是，则 ．【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．用三段论方法证明：．【答案】因为，所以（此处省略了大前提），所以（两次省略了大前提，小前提），同理，，，三式相加得．6\n(省略了大前提，小前提）18．用适当方法证明：如果那么。【答案】.∵∴∴.19．若函数满足下列条件：在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.(1）证明：函数具有性质，并求出对应的的值；(2）已知函数具有性质，求的取值范围；(3）试探究形如①、②、③、④、⑤的函数，指出哪些函数一定具有性质?并加以证明.【答案】（1）代入得：即，解得∴函数具有性质.(2）的定义域为R，且可得，∵具有性质，∴存在，使得,代入得化为整理得:有实根①若,得，满足题意；②若,则要使有实根，只需满足,6\n即，解得∴综合①②,可得(3）解法一：函数恒具有性质，即关于的方程（*）恒有解. ①若，则方程（*）可化为 整理，得 当时，关于的方程（*）无解∴不恒具备性质；②若，则方程（*）可化为，解得.∴函数一定具备性质.③若，则方程（*）可化为无解 ∴不具备性质；④若，则方程（*）可化为，化简得当时，方程（*）无解 ∴不恒具备性质；⑤若，则方程（*）可化为，化简得 显然方程无解 ∴不具备性质；综上所述，只有函数一定具备性质.解法二：函数恒具有性质，即函数与的图象恒有公共点.由图象分析，可知函数一定具备性质. 下面证明之：方程可化为，解得.∴函数一定具备性质.20．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，分别为三个内角A、B、C所对的边，求证：6\n。【答案】要证，即需证。即证。又需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理，有，即。∴成立，命题得证。21．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．【答案】（反证法）假设不是偶数，即是奇数．设，则．是偶数，是奇数，这与已知是偶数矛盾．由上述矛盾可知，一定是偶数．22．已知，且，.求证：对于，有.【答案】，；，；在上为增函数，在上为减函数，，又，在R上为减函数，且，从而6
