北京科技大学附中2022版高考数学二轮复习冲刺训练提升：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。【答案】C2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A．27B．30C．33D．36【答案】B3．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分不必要条件【答案】A4．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A．⊊B．C．⊊D．【答案】B5．设是正三棱锥的底面⊿的中心，过的动平面与交于，与、的延长线分别交于、，则()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．无最大值也无最小值D．是与平面无关的常数【答案】D6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()10\nA．B．C．D．【答案】D7．互不重合的三个平面最多可以把空间分成()个部分A．B．C．D．【答案】D8．点关于面对称的点的坐标是()A．B．C．D．【答案】A9．一个几何体的表面展开平面图如图．该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？()A．前；程B．你；前C．似；锦D．程；锦【答案】A10．三个不重合的平面可把空间分成n部分,则n的所有可能取值为()A．4B．4或6C．4或6或8D．4或6或7或8【答案】D11．A，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有()A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个【答案】D12．如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()10\nA．B．C．D．【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列命题中不正确的是(填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线，②分别和两条异面直线都相交的两直线异面，③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行，④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面。【答案】①②14．已知＝(1-t，1-t，t)，＝(2，t，t），则|－|的最小值为。【答案】15．正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是．【答案】16．下列命题中正确的个数是(1）由五个面围成的多面体只能是四棱锥；(2）用一个平面去截棱锥便可得到棱台；(3）仅有一组对面平行的五面体是棱台；(4）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.【答案】0三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD^底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF^PB交PB于点F，(1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB^平面EFD；(3)求二面角C-PB-D的大小。10\n【答案】如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC＝1。(1)证明：连结AC,AC交BD于点G，连结EG.依题意得A(1,0,0)，P(0,0,1)，E(0，，).因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，，0)，且＝(1,0,-1)，＝(,0,-).所以＝2，即PA//EG.而EGÌ平面EDB,且PAË平面EDB,因此PA//平面EDB.(2)证明：依题意得B(1,1,0)，＝(1,1,-1)又＝(0,,)，故×＝0＋－＝0，所以PB^DE.由已知EF^PB，且EF∩DE＝E，所以PB^平面EFD.(3)已知PB^EF，由(2)可知PB^DF，故ÐEFD是二面角C-PB-D的平面角，设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x,y,z–1).因为＝k，所以(x,y,z-1)＝k(1,1,-1)＝(k,k,-k)，即x＝k，y＝k，z＝1-k.因为•＝0，所以(1,1,-1)•(k,k,1-k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0.所以k＝，点F的坐标为(,,).又点E的坐标为(0,,).10\n所以＝(－，，–).因为cosÐEFD＝＝＝＝，所以ÐEFD＝60°，即二面角C-PB-D的大小为60°。18．如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，E是底面圆周上不同于A、B的一点，AF⊥DE于F。(1）求证：AF⊥BD(2）若圆柱的体积是三棱锥D-ABE的体积的倍，求直线DE与平面ABCD所成角的正切值。【答案】（1）∵∴∵为底面圆的直径∴∵∴∵∴∵ ∴∵∴(２）过E在底面上作于，连结∵∴于是为直线与平面所成的角设圆柱的底面半径为，则其母线为10\n由即得即为底面圆心又19．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；(2）平面PAC平面BDE．【答案】（1）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE．20．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO(1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成的角的余弦值；(2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值。10\n【答案】(1)不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.(2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).由D1E＝λEO，则E，=.又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．21．如图，四棱锥的底面为矩形，且，，，(Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；(Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．10\n【答案】（I）平面平面；证明：由题意得且又，则则平面,故平面平面(Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如下图示，则,,可得,平面ABCD的单位法向量为，设直线PC与平面ABCD所成角为，则则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值解法2：由（I）知平面，∵面∴平面ABCD⊥平面PAB,在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,又∴10\n在Rt△PEC中.22．如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.(Ⅰ）求证：PB⊥AC;(Ⅱ)当PD=2AB,E在何位置时，PB平面EAC;(Ⅲ)在（Ⅰ）的情况下，求二面E-AC-B的余弦值.【答案】以D为原点DA、DC、DZ分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系设则，(Ⅰ）∵=,=∴==0∴AC⊥PＣ(Ⅱ）当ＰＤ＝２ＡＢ时，，由（Ⅰ）知⊥，故只要即可设,，则，∴∴由得=0∴所以，PB平面EAC;10\n(Ⅲ）由（Ⅱ）知,设,则，∴等于二面E-AC-B的平面角∴，∴∴二面角E-AC-B的余弦值为10
