11.4函数的单调性与极值最值一、明确复习目标1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；2.了解可导函数在某点处取极值的必要条件和充分条件，会求一些实际问题（单峰函数）的最大值与最小值。二．建构知识网络1.函数的单调性（1）函数y=f(x)在某个区间内可导，假设f'(x)0，那么f(x)为增函数；假设f'(x)0，那么f(x)为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。①确定函数f(x)的定义区间；②求f'(x)，令f'(x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数f(x)的连续点[即包括f(x)的无定义点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成假设干个小区间；④确定f'(x)在各小区间内的符号，根据f'(x)的符号判定f(x)在每个相应小开区间内的增减性。例如：求函数y=(x2－1)(x2－4)单调区间。2.可导函数的极值19/19\n（1）极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，且假设对x0附近所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），那么称f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。（2）求可导函数f(x)极值的步骤①求导数f'(x)；②求方程f'(x)=0的根；③检验f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，如果根的左侧为正，右侧为负，那么函数在此处取得极大值；如果在根的左侧为负，右侧为正，那么函数在此处取得极小值。3.函数的最大值与最小值（1）设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数，并在（a,b）内可导，求函数在[a,b]上的最值可分两步进展：①求y=f(x)在（a,b）内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（2）假设函数f(x)在[a,b]上单调递增（或递减），那么f(a)为函数的最小值（或最大值），f(b)为函数的最大值（或最小值）。19/19\n三、双基题目练练手1．(2022广东)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为（）A．B．C．D．（0，2）2．函数y=1+3x－x3有A.极小值－2,极大值2,B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1,D.极小值－1,极大值33．(2022全国Ⅰ)函数f(x)=x3+ax2+3x－9已知f(x)在x=－3时取得极值，那么a=（）A．2B．3C．4D．54.函数y=－2x（x≥0）的最大值为_____________.5.（2022北京）已知是上的减函数，那么的取值范围是6.如果函数y=f（x）的导函数的图象如以以下图所示,给出以下判断:①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增;②函数y=f（x）在区间（－,3）内单调递减;③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值.19/19\n那么上述判断中正确的选项是_____________简答:1－4.DDD；4.y′=－2,当0＜x＜时，y′＞0,为增函数.当x＞时，y′＜0,是减函数.∴x=时，y有最大值.5.；6.当x∈（4,5）时,恒有f′（x）＞0.答案:③四、经典例题做一做【例1】已知函数f（x）=2ax－,x∈（0,1］.（1）假设f（x）在x∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在区间（0,1］上的最大值.分析:（1）要使f（x）在（0,1］上为增函数，需f′（x）＞0,x∈（0,1）.（2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f′（x）=2a+,∵f（x）在（0,1）上是增函数，∴f′（x）＞0,即a＞－,x∈（0,1］.∴a＞－1.当a=－1时，f′（x）=－2+对x∈（0,1）也有f′（x）＞0，满足f（x）在（0,1］上为增函数，∴a≥－1.（2）由（1）知,当a≥－1时,f（x）在（0,1］上为增函数,∴［f（x）］max=f（1）=2a－1.当a＜－1时，令f′（x）=0得x=,∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′（x）＞0;＜x≤1时，f′（x）＜0.19/19\n∴f（x）在（0,）上是增函数，在（,1]减函数.∴［f（x）］max=f（）=－3.解法点评:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.【例2】(2022天津)已知函数，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ<2π．（1）当时cosθ=0，判断函数f(x)是否有极值；（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（3）假设对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间内都是增函数，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当cosθ=0时，f(x)=4x3，那么f(x)在内是增函数，故无极值.（Ⅱ）f′(x)=12x2-6xcosθ，令f′(x)=0，得由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当cosθ>0时，随x的变化f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：x0f/(x)+0-0+19/19\nf(x)↗极大值↘极小值↗因此，函数f(x)在处取得极小值，且要使，必有，可得由于，故②当时cosθ<0，随x的变化，f′(x)的符号及的变化情况如下表：+0－0+极大值极小值因此，函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)，且假设f(0)>0，那么cosx>0。矛盾。所以当cosx<0时，f(x)的极小值不会大于零。综上，要使函数f(x)在(－∞,+∞)内的极小值大于零，参数θ的取值范围为。（III）由（II）知，函数f(x)在区间与内都是增函数。由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，那么a须满足不等式组19/19\n或由（II），参数时时，。要使不等式关于参数恒成立，必有，即。综上，解得或。所以的取值范围是。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例3】(2022福建)统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：(0<x≤20)已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，19/19\n要耗油（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。考察知识：函数、导数及其应用等根本知识，考察运用数学知识分析和解决实际问题的能力。【例4】(2022广东)设函数分别在处取得极小值极大值平面上点AB的坐标分别为19/19\n,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点求(Ⅰ)点AB的坐标；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程解:(Ⅰ)令解得当时,,当时,,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以,点AB的坐标为(Ⅱ)设，，PQ的中点在上，，所以，∴∵∴∴化简得【研讨.欣赏】（2022辽宁）已知函数f（x）=,其中a,b,c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0．设x0为f(x)的极小值点,在［1-19/19\n］上，f/(x)在x1处取得最大值，在x2处取得最小值，将点(x0,f(x0))、(x1,f/(x1))、(x2,f(x2))依次记为A，B，C（I）求x0的值（II）假设⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a,d的值解（Ⅰ）：令，得或当时，，所以在处取极小值，即.（Ⅱ）法一：∴的图象开口向上，对称轴方程是，，知∴在上的最大值为，那么，又由，知∴当时，取得最小值，即，，.由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以19/19\n，即①又由△ABC的面积为，得，利用，得.②联立①，②可得.法二：.由知在上的最大值为，即由，知，∴当时，取得最小值，即，.由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以－，即.①又由△ABC的面积为，得.19/19\n利用，得.②联立①，②可得.五．提炼总结以为师1.假设f(x)在区间（a,b）上可导，那么（x）>0f（x）为增函数（（x）<0f（x）为减函数）.（1）假设不是可导函数，上述必要性不成立；（2）（x）≥0（≤0）且只在一些孤立的点处f/(x)=0,那么f(x)仍递增（减）。2.求可导函数f（x）的极值的步骤如下：（1）求f（x）的定义域，求（x）；（2）由（x）=0，求其稳定点；（3）检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值.注意：f/(x)=0是函数f（x）在点x0处取极值的必要不充分条件。.3.求可导函数f（x）的最值的方法：（1）求f（x）在给定区间内的极值；（2）将f（x）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.19/19\n（3）如果开区间内只有一个极值点，那么必是最值点。同步练习11.4函数的单调性与极值最值【选择题】1.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，那么a的最大值是A0B1C2D32.(2022天津)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如以下图，那么函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，那么f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－，0）上递增D.在（0，）上递增4.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数A.（,）B.（π,2π）C.（,）D.（2π,3π）【填空题】5.函数的单调增区间是6.函数f(x)=sin2x-x,(-≤x≤)的最大值是，最小值是。简答提示：1－4：DACC；19/19\n1.（x）=3x2－a在［1，+∞)上，（x）≥0恒成立，即a≤3x2在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3.3.解析：F（x）=f［g（x）］=x4－4x2+6，（x）=4x3－8x，令（x）>0，得－<x<0或x>，∴F（x）在（－，0）上递增5.(0,2)；6.最大值是，最小值是-【解答题】7.（2022北京）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点(0,1)，(2,0)，如以下图.求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(－∞,1)上f′(x)>0，在(1,2)上f′(x)<0，在(2,+∞)上f′(x)>0故f(x)在(－∞,1),(2,+∞)上递增，在(1,2)上递减，因此f(x)在处取得极大值，所以（Ⅱ）由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=519/19\n得解得a=2,b=-9,c=12.解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设又所以由f(1)=5,即得m=6所以a=2,b=－9,c=128.(2022北京)已知函数f(x)=－x3+3x2+9x+a（Ⅰ）求f(x)的单调减区间；（Ⅱ）假设f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解：（I）f′(x)=－3x2+6x+9令f′(x)<0，解得x<－1或x>3所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞,－1),(3,+∞)（II）因为所以19/19\n因为在（－1，3）上，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=－2故f(x)=－x3+3x2+9x－2因此f(－1)=1+3－9－2=－7即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.9.(2022山东)设函数，其中，求f(x)的单调区间.解：由已知得函数f(x)的定义域为，且（1）当时，f′(x)<0函数f(x)在上单调递减，（2）当时，由f′(x)=0解得假设，那么f′(x)<0函数f(x)在上单调递减.假设那么，f′(x)>0函数f(x)在上单调递增.综上所述：当时，函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.当时，函数f(x)在上单调递减，函数f(x)在上单调递增.19/19\n10.(2022福建)已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的切线方程为x+2y+5=0，知解是a=2,b=3,(∵b+1≠0,b=－1舍去)所求的函数解析式是（II），令-2x2+12x+6=0,解得。∴内是减函数，在内是增函数，在内是减函数。考察知识：函数的单调性，导数的应用等知识，考察运用数学知识，分析问题和解决问题的能力.【探索题】(2022福建)已知函数19/19\n（I）求f(x)在区间上的最大值h(t)（II）是否存在实数使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出的取值范围；假设不存在，说明理由。解：（I）当即时，f(x)在上单调递增，当即时，当时，f(x)在上单调递减，综上，（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，19/19\n当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 即所以存在实数，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15-6ln3)19/19
