11．2函数极限与连续性一、明确复习目标1．了解函数极限的概念;2．掌握极限的四那么运算法那么；会求某些数列与函数的极限;3．了解函数连续的意义;会判断简单函数的连续性;4．理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．二．建构知识网络1．当x→∞时函数f(x)的极限:(1)当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)(2)同理表示——(3)当,且时,即2．当x→x0时函数f(x)的极限:当自变量x无限趋近于常数x0（从x0两侧,但x≠x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于x0时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x0时,f(x)→a)12/12\n(1)与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。(2)“连续”函数在x0处的极限就等于 f(x0)3．函数f(x)的左、右极限:(1)如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)的左极限，记作。(2)同理表示——(3)——判断函数在一点处极限存在的方法．4．极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不确定。5．函数极限的运算法那么——(与数列类似)6．对型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，转化极限存在的式子再求。7．函数连续的定义:(1)如果①函数f(x)在点x=x0处有定义，②f(x)存在，③f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续．12/12\n(2)如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数．(3)如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数．8．连续函数的性质——最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值．三、双基题目练练手1．(2022四川)已知下面结论正确的选项是()A．f(x)在x=1处连续B．f(1)＝5C．D．2．设以下说法不正确的选项是()A．=1B．=1C．=1D．时f(x)极限不存在3．已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续A．处处连续B．x=1C．x=0D．x=12/12\n4．(2022广东)5．=______6．要使f(x)=在点x=0处连续，那么需补充定义f(0)=______简答:1-3．DCD;3．f（x）=f（x）=f（）．4．;5．;6．f(0)=f（x）===四、经典例题做一做【例1】求以下各极限：（1）（2）（－x）；(3)．（a＞0）解:（1）（2）原式==a+b12/12\n(3)原式=====提炼方法：1．对于题(1)“”要先除以x的最高次方;题(2)“∞-∞”要先有理化,然后再求极限;2．在题(3)中,当b<0时,f(x)=在x=0处连续,极限值就等于f(0)．当b>0时,f（x）在x0处不连续，x→0时,分母为零,要先有理化,去掉掉分母为零的式子,再求极限．【例2】（1）设f（x）=试确定b的值,使存在．（2）f（x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式解:（1）f（x）=（2x+b）=b,f（x）=（1+2x）=2,当且仅当b=2时,f（x）=f（x）,故b=2时,原极限存在（2）由于f（x）是多项式,且=1,∴可设f（x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）12/12\n又∵=5,即（4x2+x+a+）=5,∴a=5,b=0,即f（x）=4x3+x2+5x点评:（1）理解极限的定义和极限存在的条件;（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值．【例3】已知函数f（x）=，试求:（1）f（x）的定义域，并画出图象；（2）求f（x）、f（x）,并指出f（x）是否存在．解:（1）当|x|＞2时，==－1;当|x|＜2时，==1;当x=2时，=0;当x=－2时，不存在．∴f（x）=∴f（x）的定义域为{x|x＜－2或x=2或x＞2}．如以以下图:12/12\n（2）∵f（x）=－1,f（x）=1．∴f（x）不存在．【例4】讨论函数的连续性,并作出函数的图象．分析:应先求出f（x）的解析式，再判断连续性．解:当0≤x＜1时，f（x）=x=x;当x＞1时，f（x）=·x=·x=－x;当x=1时，f（x）=0．∴f（x）=∵f（x）=（－x）=－1,f（x）=x=1,∴f（x）不存在．∴f（x）在x=1处不连续，f（x）在定义域内的其余点都连续．图象如以以下图所示．提炼方法:12/12\n分段函数讨论连续性，要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性．【研讨．欣赏】设f(x)在(a,b)内连续,如果为(a,b)内的任意n个点．求证:在[x1,xn]上至少存在一点x0,使得证明:由连续函数的性质,f(x)在闭区间[x1,xn]上必有最大值M,和最小值m,从而m≤f(xi)≤M,(i=1,2,……n)．∴,从而必有x0,使．五．提炼总结以为师1．有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积）,在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限；2．两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在．．3．求函数的极限的几种根本的方法:①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法4．函数f（x）在点x0处连续必须具备以下三个条件:函数f（x）在点x=x0处有定义;函数f（x）在点x=x0处有极限;函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值,即f（x）=f（x0）．12/12\n同步练习11．2函数极限与连续性【选择题】1．函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2．以下命题中正确的选项是（）3．f（x）=的不连续点为()A．x=0B．x=（k=0,±1,±2,…）C．x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）D．x=0和x=（k=0,±1,±2,…）【填空题】4．（2022北京）的值等于________5．设 ,那么=6．=________6．原式=＝（cos+sin）＝12/12\n简答提示：1-3．ACD;4．;5．．6．【解答题】7．求以下函数的极限：（1）（2）(3)设f（x）=求f（x）解：（1）（2）(3)f（x）=1,f（x）=1,∴f（x）=1．8．设函数f(x)=ax2+bx+c是一个偶函数,且f(x)=0,f(x)=－3,求出这一函数最大值解:∵f（x）=ax2+bx+c是一偶函数,∴f（－x）=f（x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c∴b=0∴f（x）=ax2+c又f（x）=ax2+c=a+c=0,f（x）=ax2+c=4a+c=－3,∴a=－1,c=1∴f（x）=－x2+1∴f（x）max=f（0）=1∴f（x）的最大值为112/12\n9．设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的解:f（x）=（a+x）=a,f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时,f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,f（x）在（－∞,+∞）内是连续的10．设f(x)是x的三次函数,已知．试求的值,(a为非零常数)．解:由已知可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-c),且有【探索题】在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求．解：设所在圆圆心为O,那么C、D、O都在AB的中垂线上,∴∠AOD=∠BOD=．设OA=r．S△ABC=S四边形AOBC－S△AOB=r2sin－r2sinx=r2sin（1－cos）,S△ABD=S四边形AOBD－S△AOB=r2tan－r2sinx=r2．12/12\n∴===．备题1．已知求解法一：为方程的一根，得，代人可得解法二：==，代人可得12/12
