第十章极限导数知识构造网络11．1数列极限一、明确复习目标1．理解数列极限的概念，掌握数列极限的运算法那么;2．会通过恒等变形，依据数列极限的运算法那么，依据极限为0的几种形式，求数列的极根;3．会求公比绝对值小于1的无穷等比数列各项的和．二．建构知识网络1．数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限．注：a不一定是｛an｝中的项．2．几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）．④无穷等比数列{an},当公比的绝对值|q|<1时,前n项和的极限．称之为13/13\n“各项和”或“所有项的和”．3．数列极限的四那么运算法那么：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a,bn=b时，（an±bn）=a±b;（an·bn）=a·b;=（b≠0）．说明:极限的四那么运算法那么,只适合于有限次的四那么运算．对于数列前n项和的极限,必须先求和(式),再取极限．三、双基题目练练手1．以下极限正确的个数是①=0（α＞0）②qn=0③=－1④C=C（C为常数）A．2B．3C．4D．都不正确2．(2022陕西)等于()A．1B．C．D．03．已知a、b、c是实常数，且=2,=3,那么的值是A．2B．3C．D．613/13\n4．（2022重庆）。5．将无限循环小数化为分数是_________6．=_____简答:1-3．BBD；3．由=2,得a=2b．由=3,得b=3c,∴c=b．∴=6．∴===6．4．．分子先求和,再求极限．5．=0．12+0．0012+…=0．12/(1─0．01)=4/33．6．－1四、经典例题做一做【例1】求以下极限：（1）;（2）（－n）;（3）（++…+）．分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法那么，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法那么只适用于有限个数列，需先求和再求极限．13/13\n解:（1）==．（2）（－n）===．（3）原式===（1+）=1．◆特别提示::对于（1）要防止下面两种错误：①原式===1,②∵（2n2+n+7）,（5n2+7）不存在，∴原式无极限．对于（2）要防止出现下面两种错误：①（－n）=－n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在．对于（3）要防止出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误．【例2】已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；（2）求的值．解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，那么an＝3·ｃn－1．13/13\n∴Sn＝（2）＝．①当c=2时，原式＝－;②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝．评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用．【例3】已知直线l:x－ny=0（n∈N*）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求．分析:要求的值，必须先求它与n的关系．解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,那么d2=．又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=．设点C（x1,y1）,D（x2,y2），由nx2－（2n+1）x+n=0,13/13\n∴x1+x2=,x1·x2=1．∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2=（4n+1）（n2+1）．∴===2．评述:此题属于解析几何与数列极限的综合题．要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法．【例4】假设数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当（b1+b2+…+bn）≤3时,求c的取值范围．解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立．∴===c．又a1·a2=a2=c．∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列．其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立．∴==c．又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,∴（b1+b2+b3+…+bn）=（b1+b3+b5+…）+（b2+b4+…）=+≤3．13/13\n解得c≤或c＞1．∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0．故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］．提炼方法:此题的解题目标是将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式;关键是对数列特点的分析和运用;显然“起点”应是一元二次方程根与系数的关系．【研讨．欣赏】在大沙漠上进展勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进展:从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a＞0）个单位后,向左转90°,前进ar（0＜r＜1＝个单位,再向左转90°,又前进ar2个单位,…,如此连续下去．（1）假设有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,那么大本营在何处寻找小分队?（2）假设其中的r为变量,且0＜r＜1,那么行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置．（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程．解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,那么x=a－ar2+ar4－…==,y=ar－ar3+ar5－…=,∴大本营应在点（,）附近去寻找小分队．（2）由消去r得（x－）2+y2=（其中x＞,y＞0）,即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上．13/13\n五．提炼总结以为师1．极限的四那么运算法那么只用于有限次的运算,对于n项和的极限,要先求和再求极限;2．对型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，化归转化后再求极限值。3．对含参数的题目要看是否需要分类讨论;4．在日常学习过程中,注意化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用．同步练习【选择题】1．［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于()A．0B．1C．2D．32．（2022北京）假设数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,那么（a1+a2+…+an）等于A．B．C．D．3．（2022湖南）数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,那么（a1+a2+…+an）等于A．B．C．D．【填空题】4．(2022山东)假设，那么常数。13/13\n5．（2022上海）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,那么a1=_________________．6．（2022春上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，那么=__________．简答．提示：1-3．CCC;1．原式=［n××××…×］==2．2．an=∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴（a1+a2+…+an）==3．2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an．∴原式=［++an］=（++an）．∵an+an+1=,∴an+an+1=0．13/13\n∴an=0．答案:C4．2;5．2;6．3．【解答题】7． 求以下极限：；解：（1）（2）8．已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且=,求极限（++…+）的值．解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2．∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,∴2d2－3d1=2．又===,即d2=2d1,∴d1=2,d2=4．∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2．∴==（－）．13/13\n∴原式=（1－）=．9．（2022年北京）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,…,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（n∈N*）．（1）证明{an}是等比数列；（2）求（a1+a2+…+an）的值．ABC..OO12（1）证明:记rn为圆On的半径，那么r1=tan30°=l．=sin30°=,∴rn=rn－1（n≥2）．于是a1=πr12=,=（）2=,∴{an}成等比数列．（2）解：因为an=（）n－1·a1（n∈N*）,所以（a1+a2+…+an）==．10．已知数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求．13/13\n解:Sn=+,当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得∴=p．当p＜1时，0＜q＜p＜1,==1．【探索题】已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为(Ⅰ)求数列的首项和公比；(Ⅱ)对给定的,设是首项为，公差为的等差数列．求数列的前10项之和；13/13\n(Ⅲ)设为数列的第项，，求，并求正整数，使得存在且不等于零(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)解:(Ⅰ)依题意可知,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,,即数列的前10项之和为155(Ⅲ)===，，=当m=2时，=－，当m>2时，=0，所以m=213/13
