9.7空间向量一、明确复习目标1．了解空间向量的根本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量根本定理.2．理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算.3．掌握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及∥的坐标表示；会求平面的法向量.4．会用空间向量判定线、面的垂直，会求空间直线所成的角.二．建构知识网络1.共线向量定理：对空间任意两个向量（），//<=>存在实数l使.显然.假设直线L过点A、B，是方向向量，那么点P在直线L上存在实数t，使，（此式也叫L的向量方程）点P在直线L上=(1-t).（或=x，x+y=1）2.共面向量定理：两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在实数对x，y使=.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：.3.空间向量的根本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任意一向量，存在惟一有序实数对x、y、z使得=.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间任意一点P，都存在惟一的三个有序实数x、y、z使=x+。特别地，当x+y+z=1时，那么必有P、A、B、C四点共面.4.向量的数量积：，，用于求两个向量的数量积或夹角；，用于求距离.，用于证明两个向量的垂直关系；5.空间向量的直角坐标运算律：11/11,那么;，，坐标对应成比例；．数量积为零.6.夹角公式:7.模长公式：，．8.,那么．距离公式：，9.假设表示向量a1，a2，…，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，那么a1＋a2＋a3＋…＋an=0.三、双基题目练练手1.设向量a、b、c不共面，那么以下集合可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b，b－a，a}B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c}D.{a+b+c，a+b，c}2.在平行六面体ABCD—A′B′C′D’中，向量、、是（）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量3.假设a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，那么()A.x=1，y=1B.x=，y=－C.x=，y=－D.x=－，y=4.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且11/11,ka＋b与2a－b互相垂直，那么k值是5.已知四边形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，那么=_____________.6.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），那么与的夹角θ的大小是_________.◆答案提示：1-3.CCB;4.k=.5.=3a+3b－5c.6.120°5.提示:设AD中点为G，得=3a+3b－5c.四、经典例题做一做【例1】如图,在平行六面体中,是的中点.求证:（1）∥面.（2）设E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A的中点，那么这六点共面.ABCC1D1A1B1DO分析:只需证明与面中的一组基向量共面.证明（1）:设因为为平行四边形,,又O是的中点,假设存在实数使成立,那么11/11,因为向量不共线,,.所以是共面向量,因为不在所确定的平面内,∥面,又面,∥面.（2）不共线，可作为基底，再依次证明、…能用这组基底表示即可，试试如何？【例2】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.（3）假设E、F、G分别是AB、AC、SB的中点，求证：平面EFG⊥平面ACG..思路1：要用向量来研究线面的位置关系，需要有一组基底把有关的向量表示出来，再用向量运算的几何意义来研究。解法1：（1）设，由已知得：，11/11,.（2）所以SC与AB所成的角为arccos.（3）思路2：图中垂直关系较为明显，容易建立坐标系的，可以建立空间直角坐标系，利用向量的代数运算来研究.解法2：如以以下图，取A为原点，AD、AC、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（一般建成右手系），那么由AC=2，BC=，SB=，得C（0，2，0），B（，2，0）、S（0，0，2）。=（0，2，－2），=（，0，0）.（1）∵=0，∴SC⊥BC.（2）设SC与AB所成的角为θ，∵=（，2，0），·=4，||||=4，∴cosθ=，即为所求.11/11,_yzxGFEBCAS（3）,思悟提练1.利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.2．用向量研究研究问题可以建立坐标系用向量的代数形式，也可用向量的几何形式.【例3】已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），那么n⊥且n⊥，即n·=0，且n·=0，即∴n=（，－1，1），单位法向量n0=±=±（，－，）.思悟提练求法向量一般用待定系数法.常把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的两个.单位法向量只需将法向量再除以它的模.五．提炼总结以为师11/11,1．在处理立体几何中的平行、垂直或求两异面直线所成的角时,用向量来解决思维简单，是模式化了的方法，是行之有效的方法.2．要熟练掌握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件，掌握运用向量判定平行、垂直和求空间直线所成的角的方法.同步练习9.7空间向量【选择题】1.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，假设=a，=b，=c，那么以下式子中与相等的是（）A.－a+b+cB.a+b+cC.a－b+cD.－a－b+c2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），以下表达中正确的个数是（）①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）A.3B.2C.1D.03．以下命题中不正确的命题个数是①假设A、B、C、D是空间任意四点，那么有+++=0②|a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件③假设a、b共线，那么a与b所在直线平行④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，假设=x+y+z（其中x、y、z∈R），那么P、A、B、C四点共面（）A.1B.2C.3D.4【填空题】4.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），假设，那么||的值是__________.5.11/11,设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，a的值等于;6．A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，假设BD=4，那么MN的长为.答案:1-3,ACC;4.;5.a=166.【解答题】7．设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.证明：，A、B、C及A1、B1、C1分别共线，∴∴、∴M、N、P、Q四点共面.8.已知空间四边形中,且分别是的中点,是中点.求证:证明:连结由线段中点公式得:11/11,且,9．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=ED1.证明：（1），建立空间直角坐标系，那么A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1)（2）设设，10．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，(1)已知AB1^BC1，求证：AB1^A1Ｃ；(2)当AB=2，AA1=4时，求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．11/11,解：(1)设=a，=b，=c，那么=a+c，=b-a+c，=b-c．∵^，∴(a+c)×(b-a+c)=0，即c2-a2+a×b=0．又设==x，=h，那么h2-x2+x2=0，∴x2=2h2．×=(a+c)×(b-c)=a×b-c2=x2-h2=h2-h2=0．(2)==，×=(b-a+c)×(b-c)=b2-c2-a×b=-14设异面直线BC1与A1C所成的角为q，那么cosq=|cos<,>|==．即异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为．【探索题】如以以下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos〈〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴｜｜==.（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴=（1，－1，2），=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=.∴cos〈，〉==.（3）证明：C1（0，0，2），M（，，2），=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C111/11,M.11/11
