10.5随机事件的概率一、明确复习目标1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义;2.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事件的概率.二．建构知识网络1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进展同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).3.概率的性质：(由定义知,0≤m≤1,)∴;必然事件的概率为,不可能事件的概率为.必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.4.等可能性事件：如果一次试验中有个可能的结果——称为根本领件，且每个根本领件出现的可能性都相等，即每个根本领件的概率都是，这种事件叫等可能性事件.13/13\n5.等可能性事件的概率：在等可能事件中,如果事件包含个结果，那么事件的概率.6.求概率的方法:(1)等可能性事件的概率,步骤:①明确事件A的意义,确定是否等可能性事件.②求出一次实验可能出现的结果的总数n;求m,n时,要注意是否与顺序、位置有关，是“有放回”还是“无放回”抽取，正确排列、组合公式或计数原理求出分母n和分子m;(分子、分母可以与顺序同时有关或无关，解题时可以灵活处理)。③用等可能性事件概率公式P=求出概率值.(2)通过进展大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.三、双基题目练练手1.(2022广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，那么的概率为（）A．B．C．D．2.(2022安徽)在正方体上任选3个顶点连成三角形，那么所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（）13/13\nA．B．C．D．3.（2022江西）将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为，甲、乙分在同一组的概率为，那么、的值分别为（）A．B.C.D.4.(2022辽宁)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，假设从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是.5．在两个袋中各装有分别写着0，1，2，3，4，5的6张卡片.今从每个袋中任取一张卡片，那么取出的两张卡片上数字之和恰为7的概率为________.6.将1，2，…，9这9个数平均分成三组，那么每组的三个数都成等差数列的概率为________;7.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），那么恰有一个空盒的概率等于_______.◆练习简答:1-3.CCA;3.a=C73C42÷2=105,，选A13/13\n4.数字和可是0、1、4、5，概率为;5.P==.6.分母为，求分子时先确定一组有:（123），（135），（147），（159），再定另两组…,答:.7.选一盒空C41种，把4球分三组C42种,再把三组放入三盒有A33种,故恰有一个空盒的结果数为C41C42A33,所求概率P（A）==.四、经典例题做一做【例1】一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}=A，{第三个球是红球}=B.求在以下条件下事件A、B的概率.（1）不返回抽样；（2）返回抽样.解：（1）不返回抽样,P（A）==,(与顺序有关),或(与顺序无关)P（B）==.（2）返回抽样,P（A）=C（）2=,P（B）==.13/13\n【例2】某油漆公司发出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，红漆2桶.在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些标签重新贴上，问一个定货3桶白漆、2桶黑漆和1桶红漆的顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？解：随意贴上的标签等于没贴标签,从10桶油漆中随意取.P（A）==.答：顾客按所定的颜色得到定货的概率是.【例3】将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.（1）假设a+b<4的事件记为A,求事件A的概率;（2）假设点P（a,b）落在直线x+y=m（m为常数）上,且使此事件的概率最大,求m的值.解：（1）根本领件总数为6×6=36.和123456123456723456783456789456789105678910116789101112当a=1时,b=1,2,3;当a=2时,b=1,2;当a=3时,b=1.共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）6个点适合题设,13/13\n∴P（A）==.（2）由表可知,m=7所含的根本领件最多,发生的概率最大此时P==最大.【例4】（2022全国Ⅱ）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：（1）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（2）A组中至少有两支弱队的概率.解:（1）A组中恰有两支弱队,或一只弱队,概率为,(也可按对立事件求:1)（2）解法一：A组中至少有两支弱队的概率为(也可分为互斥的的两局部算:+=)解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为.【研讨.欣赏】13/13\n（1）从0、2、4、6、8这五个数字中任取2个，从1、3、5、7、9这五个数字中任取1个。能组成多少个没有重复数字的三位数？在这些三位数中任取一个恰好能被5整除的概率是多少？（2）从1、2、3……10这10个数字中有放回的抽取3次，每次抽取一个数字，求三次抽取中最小数是3的概率。解：（1）假设取0那么有=80个三位数，假设不取0，那么有=180，所以共有80+180=260个三位数；而被5整除的三位数为：假设0为个位数的有=40个，假设5为个位数，那么含0有=4个，不含0有个，所以是5的倍数共有40+4+12=56个。故所求的概率P=。答：在这些三位数中任取一个恰好能被5整除的概率是。（2）有放回都抽取3次共有个结果，因最小的数是3可分为：恰有一个3的有个，恰有2个3的有个，恰有3个3的有个，所以所求概P=。答：三次抽取中最小数有3的概率．◆提炼方法：等可能性事件的概率,只需求出分母和分子,关键是确定“分子”条件,正确运用排列组合、计数原理算出分子的数目。五．提炼总结以为师1．正确理解概率的概念，2．熟练掌握等可能性事件概率的求法;13/13\n1．准确理解题意,合理设计解题方案,灵活简洁地运算,谨防重复遗漏．同步练习10.5随机事件的概率【选择题】1.(2022福建6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于()A. B. C. D.2.从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，那么这3个数的和为偶数的概率是()A.B.C.D.3．（2022重庆）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有10位同学参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.假设采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，那么一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学不排在一起的概率为()A.B.C.D.3．甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,那么甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是（）13/13\nA.B.C.D.【填空题】4．(2022重庆)某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，那么这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为.5．(2022上海)某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）6.用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有4个相同数字的概率等于_______.◆练习简答：1-3.ACB;2.抽取3个数全为偶数,或2个奇数1个偶数,概率为=.3.10位同学总参赛次序A.先将一班3人捆在一起A,与另外5人全排列A,二班2位同学插空A,即AAA.所求概率=.4．分母46，分子C61C52A44,所求概率为；5.;6.P==.【解答题】7．某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率。13/13\n解：“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有种等可能的根本领件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次品，共有种，所以所求的概率为。8.把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求：（1）每盒各有一个奇数号球的概率；（2）有一盒全是偶数号球的概率.解：6个球平均分入三盒有CCC种等可能的结果.（1）每盒各有一个奇数号球的结果有AA种，所求概率P（A）==.（2）有一盒全是偶数号球的结果有（CC）·CC，所求概率P（A）==.9．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人中选的时机都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是，求这个班级中的男生，女生各有多少人?解：设此班有男生n人(n∈N,n≤36)，那么有女生(36-n)人，从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全为男生，或2人全为女生.从36人中选出有相同性别的2人，共有(Cn2+C36-n2)种选法.因此，从36人中选出2人，这2人有相同性别的概率为依题意，有＝13/13\n经过化简、整理，可以得到n2-36n+315＝0.所以n＝15或n＝21，它们都符合n∈N，n<36.答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.10.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？分析：（1）是等可能性事件，求根本领件总数和A包含的根本领件数即可.（2）分类或间接法，先求出对立事件的概率.解：（1）根本领件总数甲、乙依次抽一题有CC种，事件A包含的根本领件数为CC，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为=.（2）A包含的根本领件总数分三类：甲抽到选择题,乙抽到判断题有CC；甲抽到选择题,乙也抽到选择题有CC;甲抽到判断题,乙抽到选择题有CC.共CC+CC+CC.根本领件总数CC，∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:=或P（）13/13\n==，P（A）=1－P（）=.【探索题】某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次翻开房门锁的概率是多少？（2）三次内翻开的概率是多少？（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内翻开的概率是多少？解：5把钥匙，逐把试开有A种等可能的结果.（1）第三次翻开房门,须把能开房门的钥匙放在第三位,结果有A种，因此第三次翻开房门的概率P（A）==.(另法)（2）三次内翻开房门的结果有3A种，因此，所求概率P（A）==.（3）法1：三次内翻开的结果包括：三次内恰有一次翻开的结果有CAAA种；三次内恰有2次翻开的结果有AA种.因此，三次内翻开的结果有CAAA+AA种，所求概率P（A）==.法2:只计算三次,分只有一次翻开,恰有两次翻开:.13/13\n法3：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有AA种，从而三次内翻开的结果有A－AA种，所求概率P（A）==.13/13
