第四章三角函数知识构造网络4.1三角函数的概念与根本公式——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识一、明确复习目标1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式;2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;二．建构知识网络1．角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上.(1)象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。14/14\n(2)象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。(3)与角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。(4)正确理解：“间的角”“第一象限的角”，“锐角”，“小于的角”，这四种角的集合分别表示为：，，。3．弧度制:规定(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位;(2)任一已知角的弧度数的绝对值。(3)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。5．弧长公式:;扇形的面积公式：。14/14\n6.任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=＞0），那么sinα=，cosα=，tanα=.三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与P上在终边上的位置无关.7.同角三角函数关系式:sin2α+cos2α=1（平方关系）；=tanα（商数关系）；tanαcotα=1（倒数关系）.8.诱导公式α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.——函数名不变，符号看象限。另外：sin（－α）=cosα，cos（－α）=sinα.——函数名改变。三、双基题目练练手1.已知sin=，cos=－，那么α的终边在（ ）A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限2.(2022全国Ⅲ)设,且,那么（）A.B.C.D.3.角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，那么m的值是（ ）A.B.－C.－D.14/14\n4.已知cosα=，且－＜α＜0，那么=_________.5.已知sinβ=，sin（α+β）=1，那么sin（2α+β）=_________.6.已知sinθ=，cosθ=，假设θ是第二象限角，那么实数a=______简答:1-3.DCA;4.;5.;6..1.结合三角函数线知α在第四象限.答案：D法2:sinα=－＜0，cosα=＞0，∴α终边在第四象限.3.cosα==－.∴m=或m=－（舍去）答案：A4.从cosα=中可推知sinα、cotα的值，再用诱导公式即可求之.5.∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+.∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=.6.依题意得解得a=或a=1（舍去）.四、经典例题做一做【例1】已知α是第二象限的角（1）指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围；（2）假设α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间;14/14\n（1）假设,求α－β的范围.解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k∈Z）（1）所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k∈Z），假设k为偶数，那么α/2是第一象限的角；假设k为奇数，那么α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影局部所示（不含边界）（2）因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2，即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2。(3)又◆提炼方法:理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、α/2角的取值范围间的相互关系。【例2】化简（1）（）（2）;(3)假设sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0，化简+.14/14\n解：（1）当k为偶数时，原式==－1；当k为奇数时同理可得，原式=－1，故当时，原式=-1。（2）原式==3(3)由所给条件知α是第二象限角，那么是第一或第三象限角.原式===◆关键点注:（1）分清k的奇偶，决定函数值符号是关键；（2）平方式降次是化简的重要手段之一。【例3】（1）确定lg（cos6－sin6）的符号；（2）假设+=0，判断cos（sinα）•sin（cosα）的符号。解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg（cos6－sin6）＞014/14\n（2）由题意可得=0，∴sinα•cosα＜0，故α在第二或第四象限。①假设α在第二象限，那么0＜sinα＜1，-1＜cosα＜0，∴cos（sinα）＞0，sin（cosα）＜0；∴原式＜0。②假设α在第四象限，那么-1＜sinα＜0，0＜cosα＜1，∴cos（sinα）＞0，sin（cosα）＞0；∴原式＞0。◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。【例4】时钟上自7点整到分针与时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长11cm,求分针转过扇形的面积.解:设分针转过的弧度数的绝对值为x,那么时针转过的角的弧度数的绝对值为,由分针、时针转过的时间相等得：（分钟）。分针转过扇形的面积答：分针转过，转过扇形的面积为77πcm2.【研讨.欣赏】证明：(1)(2)假设sinα=msinβ,tanα=ntanβ,且α,β为锐角,那么14/14\n证明(1)法一：右边=左边法二：要证等式即证只需证即证即显然成立,所以原等式成立。(2)(注意结论,应消去β)由①由sinα=msinβ②得,代入①得ncosα=mcosβ与②平方相加得(n2-1)cos2α=m2-1.∵α是锐角,∴14/14\n◆思维点拨：１．证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；综合法；比较法等.２．常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“１”的代换．五．提炼总结以为师1.任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念.2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值.3.弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.,并注意“1”的灵活代换:如1=sin2α+cos2α=sec2α－tan2α=csc2α－cot2α=tanα·cotα.4.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.5.，，三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。同步练习4.1三角函数的概念与根本公式【选择题】1.（2022.辽宁卷）假设的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（2022山东）函数，假设，那么的所有可能值为（）14/14\n（A）1（B）（C）（D）3.设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，那么以下不等式能成立的是()A.cosα＜cosβB.tanα＜tanβC.cotα＞cotβD.secα＜secβ【填空题】4.化简=_________.5.已知sinα+cosα=，那么角α是第_______象限的角.6.已知扇形的周长为20，当扇形的半径r=_____时，扇形的面积最大，面积的最大值等于________；练习简答：1-3.DBA;3.A与D互斥，B与C等价，那么只要判断A与D对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A.4.==|sin4－cos4|=sin4－cos4.5.两边平方得1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=－＜0.∴α是第二或第四象限角.6.当时面积最大，最大值为25【解答题】7.已知，，求的范围。解：设2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A，B为待定系数），那么2α-β=（A+B）α+（A-B）β。比较两边的系数得A=，B=；∴2α-β=（α+β）+（α-β），从而可求得－π＜2α－β＜π／6。14/14\n思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实际范围要大。8.已知，求（1）的值；（2）的值。解：（1）法一：由已知sinα=2cosα，∴原式=；法二：∵，∴cosα≠0，∴原式==。（2）===提炼方法：关于的齐次式的一般处理方法。９.(1)已知，求的值。（2）解：(1)由已知得，所以是方程的两根，而思维点拨：常用关系，那么在解题中的作用。14/14\n(2)原式=当n为奇数时，设，那么原式==。当n为偶数时，设，同理可得原式=0。1０.求证：证明：左边=右边=所以原等式成立１１．（1）已知，求的值。（2）已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x的方程5x2-x+m=0的根,求sin3θ+cos3θ和tanθ的值.解：（1）条件中的表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反向延长线，余弦值的和为零.∴f（1）+f（2）+…+f（2022）=f（1）+f（2）+…+f（4）+f(5)+f(6)+…f(2022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)14/14\n（2）由韦达定理得:①由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ得∴,Sin3θ+xos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=又0<θ<π,sinθcosθ<0,∴sinθ>0,cosθ<0sinθ-cosθ=.【探索题】是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）=cos（－β），cos（－α）=－cos（π+β）同时成立?假设存在，求出α、β的值；假设不存在，请说明理由.解：由条件得①2+②2得sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=.14/14\n∵α∈（－，），∴α=或α=－.将α=代入②得cosβ=.又β∈（0，π），∴β=，代入①可知，符合.将α=－代入②得β=，代入①可知，不符合.综上可知α=，β=.备选题:已知sinα是方程5x2+7x-6=0的根,且,求的值.解:解方程5x2+7x-6=0得,x1=-2(舍),x1=.∴所求式=1+tan2α=14/14
