9．5空间的角和距离一、明确复习目标1.掌握空间三种角的概念和求法；2.掌握空间中各种距离的概念和求法；3．能利用这些概念和方法进展论证和解决有关问题.二．建构知识网络1．空间的三种角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角.2．距离有七种，即点点、点线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离.空间角和距离的求法,概括地讲都是转化为平面几何几何问题求解,或利用以下计算公式.3.常用计算公式（1）S′=S.cosα（2）cosθ=cosθ1·cosθ2能想象上式中α，θ，θ1，θ2是什么角，S，S′表示什么吗？(3)异面直线上两点间距离公式:设异面直线a，b所成角为θ那么EF2=m2+n2+d2±2mncosθθθ三、双基题目练练1．在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，这时二面角B—AD—C大小为（）A．600B.900C.450D.12002.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，假设△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，那么P到α的距离是（）A.13B.11C.9D.79/9\n3.三棱锥V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成二面角分别为α，β，γ（都是锐角），那么cosα+cosβ+cosγ等于（）A.1B.2C.D.4.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，那么PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.5．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题可以得到命题__________，这个命题的真假性是______.6。正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，那么点到侧面的距离为_____．◆答案提示：1-3．ABA；4.；2．提示：作PO⊥平面ABC于O，那么O是Δ的外接圆圆心，且∠AOB=1200……3．提示：四个面全等，设面积为S，设三个侧面在底面上的射影分别是S1、S2、S3，那么S=S1+S2+S3=Scosα+Scosβ+Scosγ…5．“如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那麽这两个二面角的平面角相等或互补”.当两棱不平行不成立，所以，这个命题是错误的.6。四、以典例题做一做【例1】如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600.（1）求异面直线DA与BC所成的角；（2）求异面直线BD与AC所成的角；（3）求D到BC的距离；（4）求异面直线BD与AC的距离.9/9\nDCBA解析：（1）DA与BC成600角（2）设BE中点为O，DE中点为F，连OF，那么OF//BD，求∠AOF即为异面直线BD与AC成角在ΔAOF中可求得∠AOF=arccosFOMDECNBA（3）∵BA⊥平面ADE∴平面DAE⊥平面ABC故取AE中点M，那么有DM⊥平面ABC；取BC中点N，由MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC∴DN是D到BC的距离在△DMN中，DM=a，MN=a∴DN=a（4）∵BF平面BDF，AC平面BDF，AC∥BF∴AC∥平面BDF；又BD平面BDF∴AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离∵，∴9/9\n，即异面直线BD与AC的距离为◆评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法.【例2】（2022邯郸二模）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,AB=4,AD=DC=2,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,M是PB的中点,(Ⅰ)求证：CM∥侧面PAD；（Ⅱ）求直线CM与底面ABCD所成的角；（Ⅲ）求侧面PBC与侧面PAD所成二面角的大小DCBPAM解：(Ⅰ)证明：作MN∥AB交AP于N,连结DN,那么MN∥AB∥CD,且∴CM∥ND,CM∥平面PAD（Ⅱ）∵CM∥ND,∴ND与平面ABCD所成的角为所求.∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴ND在平面ABCD上的射影为AD∴∠AND为所求；∵⊿PAD是正三角形，N是PA的中点∴CM与底面所成的角为30º.（Ⅲ）延长AD、BC交于点E,连结P、E.那么PE为所求二面角的棱，且AD=DE=PD所以，∠APE=90º，AP⊥PEDCBPAME又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD∴AB⊥平面PAE∴BP⊥PE,∠BPA为所求二面角的平面角9/9\ntan∠BPA=所以，侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2【例3】如图，已知二面角α—PQ—β为60°，点A和点B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a.（1）求证：AB⊥PQ；（2）求点B到平面α的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求线段CR的长度.QPâβBCDRAαE证明（1）：在平面β内作BD⊥PQ于D，连结AD.∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，CD公用，∴△ACD≌△BCD.∴∠ADC=∠BDC=90°，即AD⊥PQ.于是PQ⊥平面ABD，那么AB⊥PQ.（2）解：由（1）知，∠ADB是二面角α—PQ—β的平面角，∴∠ADB=60°.又PQ⊥平面ABD，∴α⊥平面ABD.过B作BE⊥AD于点E，那么BE即为B到平面α的距离.BE=BD·sin60°=BC·sin30°·sin60°=a.（3）解：连结ER，∵BE⊥α，∴∠BRE是BR与α所成的角，即∠BRE=45°，那么有BR==a.易知△ABD为正三角形，AB=AD=BD=a.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BCA=.在△BCR中，设CR=x，由余弦定理得（a）2=x2+a2－2ax·，求得x1=，x2=（舍去，∵CR<AC=a），故CR=.【例4】四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知,,,．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．解:（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，9/9\n又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，DBCASE故，由，，．又，作，垂足为，那么平面，连结．为直线与平面所成的角．∴直线与平面SBC所成的角为．五．提炼总结以为师同步练习9.5空间的角和距离1.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，那么E到A1B的距离是()A.aB.aC.aD.a2.异面直线a，b，a⊥b，c与a成300，那么c与b成角范围是()A.[600，900]B.[300，900]C.[600，1200]D.[300，1200]3.平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么点P到平面α的距离（）A.B.C.D.4.一个山坡面与水平面成1200的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的点，假设PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为()9/9\nA.B.C.D.5.如图，在正三棱柱中，．假设二面角的大小为，那么点到平面的距离为_____．6.已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个平面依次互相平行，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与α成30°角，那么β与γ的距离是__________；DE=__________.◆答案：1-4．DAAB；5.;6.6、2.5；【解答题】7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点.（1）证明：截面C1EAF⊥平面ABC1.（2）求点B到截面C1EAF的距离.证明（1）：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EF∥B1C，直线B1C⊥BC1且B1C⊥AB，那么直线B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1.而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1.AADDBBCC1111EF解（2）：在平面ABC1内，过B作BH，使BH⊥AC1，H为垂足，那么BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH===.8．（2022广东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。解：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1//E1E,9/9\nD1C1=E1E,那么四边形D1E1EC1是平行四边形。那么E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线与所成的角。在Rt△BE1F中，..在Rt△D1DE1中,在Rt△D1DF中,在△E1FD1中,由余弦定理得：∴直线与所成的角的余弦值为.9.（2022全国I）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段点A、B在上，C在上，（Ⅰ）证明⊥；（Ⅱ）假设，求与平面ABC所成角的余弦值_N_M_H_C_B_A证明(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN由已知MN⊥l1,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB又AN为AC在平面ABN内的射影∴AC⊥NB（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=600,9/9\n因此△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角在Rt△NHB中,cos∠NBH===【探索题】如图，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离.解析：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，那么EF为异面直线AE、BF的公垂段，AE与BF成600角，可求得|AB|=，当x=时，|AB|有最小值.9/9
