9．8用空间向量求角和距离一、明确复习目标1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量；2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离.二．建构知识网络1．求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,那么.（3）二面角：①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；②求两个法向量的夹角（或补角）.2．求距离_a_nNMHθ（1）点M到面的距离14/14\n（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由得距离公式：（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式.三、双基题目练练手1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），以下表达中正确的个数是（）①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）A.3B.2C.1D.02．直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，那么BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）A．B.C．D．3．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，那么k=___4．已知A（3，2，1）、B（1，0，4），那么线段AB的中点坐标和长度分别是，.14/14\n◆答案提示：1.C；2.A；3.；4.（2，1，），dAB=四、以典例题做一做【例1】(2022江西)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，那么A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（２）因为E为AB的中点，那么E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为不与y轴垂直,可设，那么也即，得，从而，∴点E到平面AD1C的距离:14/14\n（3）设平面D1EC的法向量，由依题意∴（不合，舍去），.∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为【例2】（2022全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.（Ⅰ）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，那么各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，14/14\nNMBA_DCyxPz又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因由此得AC与PB所成的角为（Ⅲ）解：设平面ACM的法向量为，由得：设平面BCM的法向量为同上得∴结合图形可得二面角A-MC-B为解法2：在MC上取一点N（x，y，z），那么存在使14/14\n要使为所求二面角的平面角.【例3】如图，AFDE分别是⊙O⊙O1的直径AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD(Ⅰ)求直线BD与EF所成的角；(Ⅱ)求异面直线BD和EF之间的距离.解：(Ⅰ)以O为原点，BCAFOE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如以下图），那么O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）14/14\n所以，设异面直线BD与EF所成角为，那么直线BD与EF所成的角为(Ⅱ)设向量与BD、EF都垂直，那么有，∴BD、EF之间的距离五．提炼总结以为师1.求线线角、线面角、二面角的方法：2．求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法：同步练习9.8用空间向量求角和距离【选择题】1．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，假设=x+y+z，那么（x，y，z）为（）A（，，）B（，，）C（，，）D（，，）14/14\n2．在正方体A—C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，那么A1B1与截面A1ECF所成的角为()A．arctanB．arccosC．arcsinD．都不对【填空题】3.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），那么与的夹角θ的大小是_________.4．二面角α——β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，假设AB＝AC＝BD＝，那么CD的长为．◆答案提示：1.A;2.A;3.120°;4.2【解答题】5.设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离.解：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），∴;设平面ABC的法向量=（x，y，z），那么·=0，·=0，∴即令z=－2，那么=（3，2，－2）由点到平面的距离公式：14/14\n==.∴点D到平面ABC的距离为.6．（2022浙江文）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；解:（Ⅰ）建立如以下图的空间直角坐标系.设，连接NE，那么点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴=(,又点A、M的坐标分别是、（.∴=（∴=且与AM不共线，∴NE∥AM.14/14\n又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF.（Ⅱ）（Ⅲ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，∴AB⊥平面ADF.7.（2022全国·河北）如以以下图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.解（1）：如以以下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB14/14\n与AD交于点E，连结PE.∵AD⊥PB，∴AD⊥OB.∵PA=PD，∴OA=OD.于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°.由已知可求得PE=，∴PO=PE·sin60°=×=，即点P到平面ABCD的距离为.（2）解法一：如以以下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P（0，0，），B（0，，0），PB中点G的坐标为（0，，），连结AG.又知A（1，，0），C（－2，，0）.由此得到=（1，－，－），=（0，，－），=（－2，0，0）.于是有·=0，·=0，14/14\n∴⊥，⊥.，的夹角θ等于所求二面角的平面角.于是cosθ==－，∴所求二面角的大小为π－arccos.解法二：如以以下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，那么AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC.∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角.∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，在Rt△GAE中，AE=AD=1，于是tan∠GAE==.又∠AGF=π－∠GAE，∴所求二面角的大小为π－arctan.8.如图，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点求：（1）与所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离解：建立空间直角坐标系，14/14\n那么D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），那么由中点坐标公式得P（,0,）、Q（,,0）（1）∴=（－，0，），=（，－，－a），·=(－)×+0+×(－a)=－a2，且||=a，||=a.∴cos〈，〉===－.故得两向量所成的角为150°（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，即⊥平面EFB，∴⊥，⊥.又=（－a，a，0），=（0，a，－a），即有，取，那么.∵=（，0，）.∴设所求距离为d，那么=a.（3）设=（x1，y1，1）是两异面直线的公垂线的方向向量，那么由=（－，0，），=（，－，－a），得,14/14\n而=（0，a，0）所求距离=a.9．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.⑴求CD的长度；⑵求CD与平面所成的角解：⑴因为，故有，∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴.（2）过C作CE⊥平面α于E，连接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，连接DE，那么∠CDE就是CD与平面α所成角。14/14
