4.2和、差、倍角的三角函数一、明确复习目标1.掌握和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能正确运用三角公式，进展简单三角函数式的化简、求值和证明。二．建构知识网络1.两角和与差公式所在的象限由a,b的符号而定)2.倍角公式3.想想这些公式的推导与联系；解题时要会“正用”，“逆用”，“变形使用”,特别是余弦的二倍角公式,要熟练掌握——正用(化单角),逆用(降次)和变形运用（因式而宜）.10/10\n4．解三角函数问题看两个焦点:一是角的变化,二是函数名称的联系,这是合理选用公式的重要依据.5.其它公式及变形:；(降次公式)由此可得半角公式:；；万能公式:；；三、双基题目练练手1.（2022北京）对任意的锐角α，β，以下不等关系中正确的选项是()A．sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)<sinα＋sinβD.cos(α+β)<cosα＋cosβ2.（2022江苏）假设，那么=（）A．B．C．D．3.在中，已知，给出以下四个论断：①②③④其中正确的选项是()10/10\nA.①③B.②④C.①④D.②③4.（2022江西）在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，（）A．B．C．D．5.(2022江苏)＝ 6.（2022重庆）已知，，，那么。简答:1-4.DABD;2.,.3.…4.画图知,时最大.5.原式=,答案：26.利用…答案:四、经典例题做一做【例1】求值；解(1):10/10\n(2)【例2】(1)设(2)已知且求解：(1)因为所以所以，，所以故(2)原式=又所以为第三象限角，所以◆思路方法:1.三角函数变形着眼于两点：一是寻找角的变换,二是分析函数式的构造与联系，合理利用公式。2.涉及α+β、α及β的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。10/10\n【例3】已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值.解：由已知，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ.平方相加得（sinβ－sinα）2+（cosα－cosβ）2=1.∴－2cos（β－α）=－1.∴cos（β－α）=.∴β－α=±.∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=.◆解法点粹：1.求角一般要先求出它的一个三角函数值;2.解题关键有二:一是消元γ,二是凑差角余弦公式,倒用.3.注意隐含条件sinγ＞0，否那么产生增根.【例4】已知α为第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sinα=，cosα=－.此时kπ+＜＜kπ+.∵cos+sin=－＜0，sincos=＞0，∴cos＜0，sin＜0.∴为第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.10/10\n∴sin＜cos，即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=.【研讨.欣赏】（2022湖南）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.解法一由得所以即因为所以，从而由知从而由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得10/10\n所以即因为，所以由从而，知B+2C=不合要求.再由，得所以五．提炼总结以为师1.要熟练推证公式理清公式间的推导线索（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用和变形应用,公式应用讲究一个“活”字.2.熟悉角的变换技巧，注意倍角的相对性,时时注意角的范围的讨论.3.掌握利用和、差、倍角公式化简、求值和证明三角恒等式方法和技巧。同步练习4.2和、差、倍角的三角函数【选择题】1.满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是()A.α=，β=B.α=，β=C.α=，β=D.α=，β=2.化简=()(A)(B)(C)1(D)3.（全国卷Ⅲ）设,且,那么()A.B.C.D.【填空题】4.(2022陕西)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为10/10\n5.（2022春上海）假设cosα=，且α∈（0，），那么tan=_______6.已知tan(45°+θ)=3,那么sin2θ-2cos2θ=_______简答.提示：1-3.ABC；4.－5.由已知得sinα==，tan==.法二：tan===.6.由已知得,sin2θ-2cos2θ==法二：sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos()-sin()-1=【解答题】7.已知=2，求（I）的值；（II）sin2α+sin2α+cos2α的值.解：（I）∵tan=2,∴;所以=；（II）sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α=2sinαcosα+cos2α==10/10\n==1.8.求。解:原式=注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如此题平方差公式。9.求证:证法1:左边=证法2:右边=由合比定理得10.(2022全国Ⅰ)的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值10/10\n解:由A+B+C=π,得=－,所以有cos=sincosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2(sin－)2+当sin=,即A=时,cosA+2cos取得最大值为【探索题】是否存在锐角α、β,使①α+2β=,②同时成立?假设存在,求出α、β,假设不存在,请说明理由.解:假设存在,由①得由②代入上式得,又②是方程的两个根,解得.∵α、β是锐角,∴,tanβ=1.,代入①得.即存在,使①②式同时成立.10/10
