专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.(2022北京,文8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据:lg3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093答案：D解析：设MN=x=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361×lg3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D.2.已知a=243,b=323,c=2513,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案：A解析：因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=x23在区间[0,+∞)内是增函数,所以323<423<523,即b<a<c.故选A.3.(2022浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )答案：D解析：设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.8\n所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.4.(2022广西名校一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且fx-32=fx+12恒成立,当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈(-2,0)时,f(x)=( )A.2+|x+1|B.3-|x+1|C.|x-2|D.|x+4|答案：B解析：由已知得函数f(x)周期为2,当x∈(0,1)时,x+2∈(2,3),则f(x)=f(x+2)=x+2.同理,当x∈[-2,-1]时,有f(x)=f(x+4)=x+4.又知f(x)是偶函数,当x∈(-1,0)时,有-x∈(0,1),故f(x)=f(-x)=2-x,即当x∈(-2,0)时,f(x)=3-|x+1|.5.(2022全国Ⅰ,文9)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则( )A.f(x)在区间(0,2)内单调递增B.f(x)在区间(0,2)内单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案：C解析：f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.6.(2022河北石家庄二模)已知函数f(x)=xln(1+x)+x2,x≥0,-xln(1-x)+x2,x<0,若f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,1]答案：D解析：设x>0,则-x<0,f(-x)=xln(1+x)+x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,易知f(x)=xln(1+x)+x2为增函数,所以不等式f(-a)+f(a)≤2f(1)等价于2f(a)≤2f(1),即f(a)≤f(1),亦即f(|a|)≤f(1),则|a|≤1,解得-1≤a≤1,故选D.7.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )A.-1B.1C.2D.4答案：C解析：设(x,y)是函数y=f(x)图象上的任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由已知得点(-y,-x)在曲线y=2x+a上,∴-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a.∴f(-2)+f(-4)=-log22+a+(-log24)+a=1,解得a=2.8.函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为 . 8\n答案：2解析：∵f(x)=1+1x-1在区间[2,+∞)内是减函数,∴f(x)的最大值为2.9.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a= . 答案：1解析：∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-lna=ln(a+1+1),于是lna=0,∴a=1.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是 . 答案：12,2解析：由题意知a>0,又log12a=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).∵f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在[0,+∞)内单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a∈12,2.11.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于 . 答案：-14解析：根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32=f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14.12.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= . 答案：2解析：f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),8\n故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.13.若不等式3x2-logax<0在x∈0,13内恒成立,求实数a的取值范围.解由题意知3x2<logax在x∈0,13内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=logax的图象.观察两函数图象,当x∈0,13时,若a>1,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方(图略),所以不成立;当0<a<1时,由图可知,y=logax的图象必须过点13,13或在这个点的上方(如图),则loga13≥13,所以a≥127,所以127≤a<1.综上,实数a的取值范围为127≤a<1.二、思维提升训练14.(2022安徽安庆二模)定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于( )A.14B.-14C.-15D.15答案：D解析：由f(x+1)=f(x-1)可知函数f(x)是周期为2的周期函数,所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25)=f(log25-2)=-f(2-log25)=-(22-log25-1)=-45-1=15,故选D.15.(2022全国Ⅲ,文7)函数y=1+x+sinxx2的部分图象大致为( )8\n答案：D解析：当x=1时,y=1+1+sin1=2+sin1>2,故排除A,C;当x→+∞时,y→+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.16.函数f(x)=9x-a3x的图象关于原点对称,若g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=( )A.1B.-1C.-12D.12答案：D解析：∵f(x)=9x-a3x关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,a=1.∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,∴lg10x+110x=lg(10x+1)+2bx,∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=-12,∴a+b=12.故选D.17.(2022山东,文10)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cosx答案：A解析：A项,令g(x)=ex·2-x,则g(x)=e2x,因为e2>1,所以g(x)在R上单调递增,具有M性质;B项,令g(x)=ex·x2,则g'(x)=ex(x2+2x)=x(x+2)·ex,令g'(x)=0,得x1=0,x2=-2,g(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减,不具有M性质;C项,令g(x)=ex·3-x,则g(x)=e3x,因为0<e3<1,8\n所以g(x)在R上单调递减,不具有M性质;D项,令g(x)=excosx,则g'(x)=ex(cosx-sinx),令g'(x)=0,得tanx=1.所以x=kπ+π4,k∈Z,故g(x)在R上不单调递增,不具有M性质.18.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1mxi=( )A.0B.mC.2mD.4m答案：B解析：由题意可知,y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称.当m为偶数时,∑i=1mxi=2×m2=m;当m为奇数时,∑i=1mxi=2×m-12+1=m,故选B.19.(2022天津,文8)已知函数f(x)=|x|+2,x<1,x+2x,x≥1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-23,2]C.[-2,23]D.[-23,23]答案：A解析：由f(x)=|x|+2,x<1,x+2x,x≥1得f(x)>0在R上恒成立,∵关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,∴关于x的不等式-f(x)≤x2+a≤f(x)在R上恒成立,即关于x的不等式-x2-f(x)≤a≤f(x)-x2在R上恒成立.令p(x)=-x2-f(x),则p(x)=x2-2,x<0,-32x-2,0≤x<1,-32x-2x,x≥1.当x<0时,p(x)<-2,当0≤x<1时,-72<p(x)≤-2,当x≥1时,p(x)≤-23,当且仅当x=233时取等号.综上所述,p(x)max=-2.8\n令t(x)=f(x)-x2,则t(x)=-32x+2,x<0,x2+2,0≤x<1,x2+2x,x≥1.当x<0时,t(x)>2,当0≤x<1时,2≤t(x)<52,当x≥1时,t(x)≥2,当且仅当x=2时取等号.综上所述,t(x)min=2.∵关于x的不等式-x2-f(x)≤a≤f(x)-x2在R上恒成立,∴-2≤a≤2.故选A.20.已知实数a≠0,函数f(x)=2x+a,x<1,-x-2a,x≥1.若f(1-a)=f(1+a),则a的值为 . 答案：-34解析：首先讨论1-a,1+a与1的关系,当a<0时,1-a>1,1+a<1,所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以a=-34.当a>0时,1-a<1,1+a>1,所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.因为f(1-a)=f(1+a),所以2-a=-3a-1,所以a=-32(舍去).综上,满足条件的a=-34.21.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.解(1)∵f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,∴f(x)是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又t+122≤x+12min2对一切x∈R恒成立,8\n∴t+122≤0,∴t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.8
