专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A.f(x)=-x|x|B.f(x)=xsinxC.f(x)=1xD.f(x)=x122.已知a=21.2,b=12-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a3.(2022全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )4.函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )8\nA.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]5.已知函数f(x)=2x-1-2,x≤1,-log2(x+1),x>1,且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-74B.-54C.-34D.-146.(2022全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )A.-50B.0C.2D.507.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a= ,b= . 8.若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a= . 9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是 . 10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于.11.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= . 12.若不等式3x2-logax<0在x∈0,13内恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练13.函数y=cos6x2x-2-x的图象大致为( )8\n14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=ax+log5x,x>4,x2+2x+3,0<x≤4,若f(-5)<f(2),则a的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(2,+∞)15.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)=( )A.0B.mC.2mD.4m16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是 . 17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=ax+1,-1≤x<0,bx+2x+1,0≤x≤1,其中a,b∈R.若f12=f32,则a+3b的值为.18.若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 . ①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+219.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.8\n专题能力训练5 基本初等函数、函数的图象和性质一、能力突破训练1.A 解析函数f(x)=-x2,x≥0,x2,x<0在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A.2.A 解析∵b=12-0.8=20.8<21.2=a,且b>1,又c=2log52=log54<1,∴c<b<a.3.D 解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-124+122+2>2.排除C.故选D.4.D 解析因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在区间(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].5.A 解析∵f(a)=-3,∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.6.C 解析∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.4 2 解析设logba=t,由a>b>1,知t>1.由题意,得t+1t=52,解得t=2,则a=b2.由ab=ba,得b2b=bb2,即得2b=b2,即b=2,8\n∴a=4.8.1 解析∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-lna=ln(a+1+1),于是lna=0,∴a=1.9.12,2 解析由题意知a>0,又log12a=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a).∵f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a∈12,2.10.-14 解析根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32=f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14.11.2 解析f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,设g(x)=2x+sinxx2+1,则g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数.由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.12.解由题意知3x2<logax在x∈0,13内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x2和y=logax的图象.观察两函数图象,当x∈0,13时,若a>1,函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以不成立;8\n当0<a<1时,由图可知,y=logax的图象必须过点13,13或在这个点的上方,则loga13≥13,所以a≥127,所以127≤a<1.综上,实数a的取值范围为127≤a<1.二、思维提升训练13.D 解析y=cos6x2x-2-x为奇函数,排除A项;y=cos6x有无穷多个零点,排除C项;当x在原点右侧附近时,可保证2x-2-x>0,cos6x>0,则此时y>0,故选D.14.B 解析因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-5)=f(5)=5a+log55=1+5a,则不等式f(-5)<f(2)可化为f(5)<f(2).又f(2)=4+4+3=11,所以由5a+1<11可得a<2,故选B.15.B 解析由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称.而y=x+1x=1+1x的图象是由y=1x的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=x+1x的图象关于点(0,1)对称.则函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(xi,yi),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足xi+x'i=0,yi+y'i=2,所以∑i=1m(xi+yi)=∑i=1mxi+∑i=1myi=m2×0+m2×2=m.16.12,32 解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-2)可化为f(2|a-1|)>f(2),则2|a-1|<2,|a-1|<12,解得12<a<32.故答案为12,32.17.-10 解析∵f32=f12,∴f12=f-12,∴12b+232=-12a+1,8\n易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=b+22,即2a+b=0,∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.①④ 解析对①,设g(x)=ex·2-x,则g'(x)=ex2-x+2-xln12=ex·2-x·1+ln12>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=ex·3-x,则g'(x)=ex3-x+3-xln13=ex·3-x1+ln13<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=ex·x3,则g'(x)=ex·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=ex(x2+2),则g'(x)=ex(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.19.解(1)∵f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,∴f(x)是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又t+122≤x+12min2对一切x∈R恒成立,8\n∴t+122≤0,∴t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.8
