专题一函数、不等式第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2022·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )．A．y＝x＋exB．y＝x＋C．y＝2x＋D．y＝解析 令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.答案 A2．(2022·北京东城区模拟)函数f(x)＝ln＋的定义域为( )．A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析 要使函数有意义，则有即解得x＞1.答案 B3．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )．A．3B．6C．9D．12解析 因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.答案 C4．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )．5\nA．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1解析 与曲线y＝ex图象关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.答案 D5．(2022·安徽卷)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )．A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0解析 由题图可知－c>0，∴c<0，又当x<－c时，由图象形状可知，a<0且b>0，故选C.答案 C6．(2022·浙江卷)已知x，y为正实数，则( )．A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析 2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)．故选D.答案 D7．(2022·安徽卷)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )．A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．a<c<b解析 利用“媒介”法比较大小．∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.故c<a<b，选B.答案 B二、填空题5\n8．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.解析 由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N＝(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)9．(2022·新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.解析 f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.答案 110．(2022·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．解析 结合题意分段求解，再取并集．当x<1时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，∴当x<1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．答案 (－∞，8]11．(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．解析 因为f(x)＝∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－.当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0.当x＞1时，f(x)＝x＋－6≥2－6，当且仅当x＝时“＝”成立．∵2－6＜0，∴f(x)的最小值为2－6.答案 － 2－612．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；④f(2014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析 令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x5\n)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2,0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,6]与[－6，－2)上也单调且有f(6)＝f(－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2014)＝0，④正确．答案 ①②④三、解答题13．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．解 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，因为Q(－x，－y)在f(x)的图象上，所以－y＝loga(－x＋1)，即g(x)＝－loga(1－x)(x<1)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.设F(x)＝loga，x∈[0,1)．由题意知，只要F(x)min≥m即可．因为F(x)在[0,1)上是增函数，所以F(x)min＝F(0)＝0.故m的取值范围是(－∞，0]．14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解 (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴即5\n∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6.所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．15．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函数，y＝－x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立⇔t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立⇔2≤对一切x∈R恒成立⇔2≤0⇔t＝－.即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．5
