广东省各市2022年高考一模数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2022届深圳市）在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A.B。C。D。选择题参考答案1、D 二、填空题1、（2022届揭阳市）已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则2、（2022届深圳市）设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为填空题参考答案1、由得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令得，故数列是首项，公比的等比数列，又，所以.2、25\n三、解答题1、（2022届广州市）已知函数.（1）若对都成立，求的取值范围；（2）已知为自然对数的底数，证明：N，.2、（2022届江门市）设函数，是自然对数的底数，，为常数．⑴若在处的切线的斜率为，求的值；⑵在⑴的条件下，证明切线与曲线在区间至少有1个公共点；⑶若是的一个单调区间，求的取值范围．3、（2022届揭阳市）已知函数，，其中,（e≈2.718）．（1）若函数有极值1，求的值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：．4、（2022届茂名市）设函数。 （1）求函数f（x）的导函数；（2）若为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；（3）设函数f（x）的点C（）（为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，求的取值范围。25\n5、（2022届梅州市）已知函数，设。（1）若g（2）＝2，讨论函数h（x）的单调性；（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点。①求b的取值范围；②求证：6、（2022届汕头市）当时，求过点且与曲线相切的切线方程；求函数的单调递增区间；若函数有两个极值点，，且，记表示不大于的最大整数，试比较与的大小．7、（2022届深圳市）已知定义在上的奇函数满足：当时，．（1）求的解析式和值域；（2）设，其中常数．①试指出函数的零点个数；②若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中．证明：（）．8、（2022届湛江市）设函数，．求函数的最大值；25\n记，是否存在实数，使在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；证明：（，，）．9、（2022届佛山市）已知函数.(Ⅰ)若,证明:函数是上的减函数；(Ⅱ)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值；(Ⅲ)若,证明:(其中是自然对数的底数).解答题参考答案1、（1）解：∵，其定义域为,∴.…………………………1分①当时，，当时，，则在区间上单调递减，此时，，不符合题意.…2分②当时，令，得，，当时，，则在区间上单调递减，此时，，不符合题意.…………………………3分③当时，，当时，，则在区间上单调递增，此时，，符合题意.……4分25\n④当时，令，得，，当时，，则在区间上单调递增，此时，，符合题意.……5分综上所述，的取值范围为.…………………………6分（2）证明：由（1）可知，当时，对都成立，即对都成立.…………………………7分∴.………………8分即.由于N，则.…………………………9分∴.∴.…………………………10分由（1）可知，当时，对都成立，即对都成立.…………………………11分∴.…………………………12分即.得25\n由于N，则.…………………………13分∴.∴.…………………………14分∴.2、⑴……1分依题意，，解得……2分⑵由⑴，直线的方程为，即……3分作，则……4分，……5分（用其他适当的数替代亦可）因为在上是连续不断的曲线，，在内有零点，，从而切线与曲线在区间至少有1个公共点……6分⑶，是的一个单调区间当且仅当在上恒大于等于零，或恒小于等于零，由，作，由得……7分25\n－0+↘最小值↗……9分在上的最小值为，所以，当且仅当时，在上单调递增……11分下面比较与的大小（方法一）由，，以及在上单调递减得……12分……13分，∴，当且仅当时，在上单调递减，综上所述，的取值范围为……14分（方法二）由，，以及的单调性知，……12分由知，单调递减……13分由得，，25\n，∴，当且仅当时，在上单调递减，综上所述，的取值范围为……14分（“单调递增……11分”以下，若直接写，再给1分）3、解：（1）∵，∴，---------------------------------------------------------------1分①若，则对任意的都有，即函数在上单调递减，函数在上无极值；----------------------------------------------------2分②若，由得，当时，当时，，即函数在单调递减，在单调递增，∴函数在处有极小值，∴，∴.---------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数=在区间上为减函数且当时，，∴在上恒成立在上恒成立，----5分设，则----7分当时，，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，-------------------8分25\n∴当时，，∴.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数=在区间上为减函数∴对，-----------（）恒成立，--------------5分∵，∴，当时，（）式显然成立；----------------------------------------------------6分当时，（）式在上恒成立，设，易知在上单调递增，-------------------------------7分∴，∴，------------------------------------------------------------8分综上得.-------------------------------------------------------------9分]（3）证法1：由（2）知，当时，,，------------------------------------------10分∵对任意的有，∴∴，--------------------------------------12分∴，25\n即．--------------------------------------------------------14分[证法2：先证明当时，令,则对任意的恒成立，----------------10分∴函数在区间上单调递减，∴当时，，----------------------------------11分∵对任意的，而---------------------------------------------12分∴.----14分]4、25\n25\n5、解：（1）∴，其定义域为（0，+）.，…………1分25\n若,则函数在区间（0,1）上单调递增；在区间（1,+）上单调递减.……2分若,令,得..当时，则，所以函数在区间（0,）和（1,+）上单调递增；在区间（,1）上单调递减.……3分当时，,所以函数在区间（0，+）单调递增.……4分当时，则，所以函数在区间（0,1）和（,+）上单调递增；在区间（1,）上单调递减.（综上所述略）……5分（2）∵函数是关于的一次函数，∴，其定义域为（0，+）.由,得，记，则.……6分∴在单调减，在单调增，∴当时,取得最小值.……7分又，所以时,，而时,.……8分∴的取值范围是（，0）.……9分由题意得，∴.∴.25\n不妨设.要证,只需要证，即证,即……10分设，，…………11分，……12分∴函数在（1，+）上单调递增，而，所以,即，∴.……14分6、解：（1）显然曲线方程为，设切点为由得到切线的斜率为。则切线方程为因为切线过点，所以，解得所以切线方程为…………………(3分)（2）显然函数的定义域为，且令并结合定义域可得对应一元二次方程的判别式故当，即时，对应方程有两个不等实根与…………………(4分)当，即时，恒成立，所以函数的增区间为……………(5分)25\n当时，对应方程两根为正，故函数的单调增区间为与……………(6分)当时，对应方程两根，，故函数的单调增区间为……………(7分)（3），令得由题意知方程有两个不相等的正数根，则解得，……………(8分)解方程得，则.……………(9分)又由得，所以=,当时，，即函数是上的增函数所以，故的取值范围是.则.……………(11分)同理可求，=，，即函数是上的减函数25\n所以，故的取值范围是则=或=0……………(13分)当=时，；当=时，.……………(14分)7、解：（1）为奇函数，．当时，，则，………………………………………2分时，，，，的值域为．…………………………………………………3分图a（2）①函数的图象如图所示，当时，方程有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方程有两个实根．（法一）：由，解得，的值域为，只需研究函数在上的图象特征．设，，，令，得，．图b当时，，当时，，25\n又，即，由，，得，的大致图象如图所示．根据图象可知，当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、、上，根据图像，方程有两个交点，因此函数有两个零点．…………………………………………5分类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、、这三个零点．………………………………………………………………6分当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点．…………………………………………………………7分当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点．……………………………………………………………8分当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点．………9分（法二）：，令，得，，．当时，，当时，，当时，取得极大值．25\n图c（Ⅰ）当的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数无零点．（Ⅱ）当的极大值，即时，，函数的图像如图所示，函数有零点．由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．图d（Ⅲ）当的极大值且，即时，在上单调递增，因为，，函数的图像如图所示，函数在存在唯一零点，其中．图e由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．（Ⅳ）当的极大值且，即时：由，得，由，得，图f根据法一中的证明有．（ⅰ）当时，，，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中．由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．25\n（ⅱ）当时，，，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点．图g由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点．（ⅲ）当时，，，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中．由图可知方程有两个不等的实根，因此函数有两个零点．（ⅳ）当时，，，图h函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点，分别是和，其中．由图可知方程有一个实根，方程有两个非的不等实根，因此函数有三个零点．（ⅴ）当时，，，函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点、，其中．图i由图可知方程、都有两个不等的实根，且这四个根互不相等，因此函数有四个零点．综上可得：当时，函数有两个零点；………………5分25\n当、时，函数有三个零点；………………………………7分当时，函数有四个零点；……………………………………8分当时，函数无零点．………………………………………………9分②因为是函数的一个零点，所以有，，，，，．…………………………………………10分记，，当时，，当时，，即．故有，则．…11分当时，；当时，（法一）：，………………………………13分25\n……．综上，有…，．………………………………………14分（法二）：当时，；当时，，………………………13分……．综上，有…，．………………………………………14分【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．8、25\n25\n25\n9、【解析】(Ⅰ)当时,函数的定义域是,………………1分对求导得,………………………………………………2分令,只需证:时,.又,………………………………3分故是上的减函数,所以…………………………5分所以,函数是上的减函数.……………………………………6分(Ⅱ)由题意知,,…………………………………………7分即,…………………………………8分令,则,………………………9分故是上的增函数,又,因此是的唯一零点,即方程有唯一实根,所以,…………………………………10分[说明]利用两函数与图象求出(必须画出大致图象),同样给至10分.(Ⅲ)因为,故原不等式等价于,…11分由(Ⅰ)知,当时,是上的减函数,……………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当时,,令,则,是上的增函数,…………………13分所以,即,故,25\n即…………………………………………………………14分25
