广东省各市2022年高考一模数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（2022届江门市）是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差A．B．C．D．2、（2022届汕头市）已知等差数列的前项和为，又知，且，，则为（）A．B．C．D．3、（2022届湛江市）已知等比数列的各项均为正数，且公比，若、、成等差数列，则公比（）A．或B．C．或D．选择题参考答案1、C 2、C 3、D二、填空题1、（2022届梅州市）已知等比数列{}的公比为正数，且，则＝＿＿＿填空题参考答案1、三、解答题1、（2022届广州市）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；16\n（3）是否存在正整数,使,,成等比数列?若存在,求的值；若不存在,请说明理由.2、（2022届江门市）设数列的前项和，．⑴求的值；⑵求数列的通项公式；⑶证明：对一切正整数，有．3、（2022届揭阳市）已知为数列的前项和，（），且．（1）求的值；（2）求数列的前项和；（3）设数列满足，求证：．4、（2022届茂名市）已知数列{}的前n项和为Sn，＝1，且，数列{}满足，＝5，其前9项和为63。（1）求数列数列{}和{}的通项公式；（2）令＝，数列{}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有，求的最小值。5、（2022届梅州市）数列{}满足。 （1）求数列{}的通项公式；16\n （2）设数列{}的前n项和为Sn，证明6、（2022届汕头市）已知是数列的前项和，且满足（，），又已知，，，，，．计算，，并求数列的通项公式；若，为数列的前项和，求证：．7、（2022届深圳市）已知首项大于的等差数列的公差，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，，其中．①求数列的通项；②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8、（2022届湛江市）已知数列的前项和满足（，），且，．求数列的通项公式；设（为非零整数，），求的值，使得对任意，恒成立．9、（2022届中山市）设等差数列的前n项和为，且．16\n数列的前n项和为，且，．（I）求数列,的通项公式；（II）设，求数列的前项和．10、（2022届佛山市）数列的前项和为，已知，().(Ⅰ)求；(Ⅱ)求数列的通项；(Ⅲ)设,数列的前项和为,证明:().解答题参考答案1、（1）解：∵，∴.…………………………1分（2）解法1：由，得，…………………………2分故.…………………………3分∵，∴.∴.…………………………4分∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴.…………………………5分∴.…………………………6分当时，，…………………………8分又适合上式，∴.…………………………9分16\n解法2：由，得，…………………………2分当时，， …………………………3分∴.…………………………４分∴.∴.…………………………５分∵，∴.…………………………６分∴数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列．……………７分∴． …………………………８分∵适合上式，∴.…………………………9分解法3：由已知及（1）得，，猜想.…………………………2分下面用数学归纳法证明.①当，时，由已知，，猜想成立.………3分②假设时，猜想成立，即，…………………………4分由已知，得，故.∴.…………………………5分∴.∴.…………………………6分∵，∴.…………………………7分16\n∴.…………………………8分故当时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即.…………………………9分（3）解：由(2)知,.假设存在正整数,使,,成等比数列,则.…………………………10分即.…………………………11分∵为正整数，∴.∴.∴.化简得.…………………………12分∵,∴.解得,与为正整数矛盾.……………………13分∴不存在正整数,使,,成等比数列.…………………………14分2、⑴……1分⑵时，……4分（上式每个等号1分）时，，所以，……5分16\n⑶由⑵知，时，……7分……9分……11分……12分，……13分∵单调递增，∴，……14分3、解：（1）由和可得--------------------2分（2）解法1：当时，由得，---------------------------------4分---------------------6分∴数列是首项，公差为6的等差数列，∴-------------------------------------------------------7分∴-----------------------------------------------------8分[解法2：当时，由------------------4分可得,---------------------------------6分∴数列是首项,公差为3的等差数列，，即.--------------------------------------8分]（3）证明：------------------10分16\n--------------------11分∴-------------13分命题得证．----------------------------------------14分4、16\n5、解：(1)，…………2分所以．…………3分所以是首项为，公差为的等差数列．…………4分所以所以．…………6分(可用观察归纳法求,参照法一给分)（2） 设,…………7分则.…………8分函数为上的减函数，…………9分所以，即,…………10分从而…………11分所以…………12分所以…13分16\n得.…………14分(可用数学归纳法证明,参照法一给分)6、解：方法一：（I）当时，由已知得因为，所以……①…………………(1分)当时，…………………(2分)又……②由②－①得．……③…………………(3分)当时，…………………(4分)对于③式又有．……④由④－③得（）……⑤…………………(5分)⑤表明：数列是以=4为首项，2为公差的等差数列，所以，…………………(6分)方法二：（I）当时，由已知得因为，所以……①…………………(1分)当时，…………………(2分)又……②由②－①得．（）…………………(3分)所以，（），且它表示数列（）（从第二项开始起）是从开始，以为公比的等比数列。…………………(4分)所以，所以，（），…………………(5分)所以，…………………(6分)（II）又因为不满足⑤16\n而⑤也表明是从开始，以2为公差的等差数列，所以，…………………(7分)所以也可以写成，所以，…………………(8分)也可以写成所以对于数列的前项和有①当时，=…………………(9分)②当时=…………………(10分)③当时，==16\n=…………………(13分)④当时，综上所述的前项和对任意正整数成立。…………………(14分)7、解：（1）（法一）：数列的首项，公差，，，………………………………………2分，……………3分整理得解得或（舍去）．……………………………4分因此，数列的通项．………………………………………5分（法二）：由题意得，…………………………………1分数列是等差数列，，……………………………2分，即．………………………………………………………3分又，，解得或（舍去）．…………………………………4分因此，数列的通项．………………………………………5分（2）①，．…………………………6分令，则有，．16\n当时，，．………8分因此，数列的通项．………………………9分②，，，………………………………………10分若数列为等比数列，则有，即，解得或．………11分当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．………………………………14分【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．8、16\n9、解：（Ⅰ）由题意，，得．…………3分，，，两式相减，得数列为等比数列，．…………7分（Ⅱ）．当为偶数时，=．……………10分当为奇数时，（法一）为偶数，16\n……………13分（法二）．……………13分……………14分10、【解析】(Ⅰ)当时,,解得；……………………1分当时,,解得；………………………………2分(Ⅱ)方法一：当时，，整理得，即…………………………5分所以数列是首项为,公差为的等差数列.……………………………6分所以，即………………………7分代入中可得.……………………………8分方法二：由(Ⅰ)知:,猜想,……………………4分下面用数学归纳法证明:①当时，，猜想成立；………………5分②假设,猜想也成立,即,则当时,有16\n整理得，从而，于是即时猜想也成立.所以对于任意的正整数,均有.…………………………8分(Ⅲ)由(Ⅱ)得,,…………………9分当时，……11分当时,成立；………………………12分当时,所以综上所述,命题得证.………………………………………………………14分16
