课时规范练24 平面向量的概念及线性运算一、基础巩固组1.下列关于平面向量的说法正确的是( )A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是( )A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b,且|a|=|b|3.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC4.(2022北京丰台一模,理4)设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为( )A.-12B.0C.12D.15.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是( )A.-2B.-1C.1D.26.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA+2OC=3OB,则|BC||AB|的值为( )A.12B.13C.14D.167.在四边形ABCD中,O是四边形ABCD内一点,OA=a,OB=b,OC=c,OD=a-b+c,则四边形ABCD的形状为( )A.梯形B.正方形C.平行四边形D.菱形8.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,AB=a,AC=b,则AD=( )A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b〚导学号21500726〛9.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则△ABM与△ABC的面积比为 . 10.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为 . 11.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,则实数λ的值为 . 12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=λAB+μDC,则λ+μ= . 二、综合提升组4\n13.在△ABC中,D是AB边上的一点,CD=λCA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为( )A.CD=23a+13bB.CD=13a+23bC.CD=13a+13bD.CD=23a+23b14.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)15.A,B,C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O,存在实数t使得OC=tOA+ OB.16.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,且a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c= . 三、创新应用组17.已知A,B,C三点不共线,且点O满足OA+OB+OC=0,则下列结论正确的是( )A.OA=13AB+23BCB.OA=23AB+13BCC.OA=13AB-23BCD.OA=-23AB-13BC18.(2022安徽马鞍山质检)已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,则△APD的面积为( )A.34B.32C.3D.23〚导学号21500727〛课时规范练24 平面向量的概念及线性运算1.C 对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确.故选C.2.C 因为a|a|表示与a同向的单位向量,b|b|表示与b同向的单位向量,所以只要a与b同向即可,观察可知C满足题意.4\n3.A AD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+43AC.故选A.4.C 如图,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.∵EF=mAB+nAC,∴m=-16,n=23,∴m+n=12.故选C.5.B ∵BC=a+b,CD=a-2b,∴BD=BC+CD=2a-b.又A,B,D三点共线,∴AB,BD共线.设AB=λBD,则2a+pb=λ(2a-b).即2=2λ,p=-λ.解得λ=1,p=-1.6.A 由OA+2OC=3OB,得OA-OB=2OB-2OC,即BA=2CB,所以|BC||AB|=12.故选A.7.C 因为OD=a-b+c,所以AD=OD-OA=c-b.又BC=OC-OB=c-b,所以AD∥BC且|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是平行四边形.8.D 连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB,且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.9.35 如图,设AB的中点为D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD,故C,M,D三点共线,且MD=35CD,也就是△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,故△ABM与△ABC的面积比为35.10.90° 由AO=12(AB+AC),得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故AB与AC的夹角为90°.11.-2 如图,由AP=λPD,且PA+BP+CP=0,得P为以AB,AC为邻边的平行四边形的顶点,因此AP=-2PD,故λ=-2.12.1 如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以EA+ED=0,BF+CF=0.4\n又因为AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.①同理EF=ED+DC+CF.②由①+②,得2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC),所以λ=12,μ=12.所以λ+μ=1.13.A 由题意,得CD是∠ACB的平分线,则CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=23CB+13CA=23a+13b,故选A.14.A 设BO=λBC(λ>1),则AO=AB+BO=AB+λBC=(1-λ)AB+λAC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λAC.所以λ=1-x>1,解得x<0.15.(1-t) 根据共线向量定理知,A,B,C三点共线的充要条件是存在实数t使得BC=tBA,即OC-OB=t(OA-OB),即OC=tOA+(1-t)OB.16.0 因为a+b与c共线,所以a+b=λ1c.①又因为b+c与a共线,所以b+c=λ2a.②由①得b=λ1c-a.所以b+c=(λ1+1)c-a=λ2a,所以λ1+1=0,λ2=-1,即λ1=-1,λ2=-1.所以a+b+c=-c+c=0.17.D ∵OA+OB+OC=0,∴O为△ABC的重心,∴OA=-23×12(AB+AC)=-13(AB+AC)=-13(AB+AB+BC)=-13(2AB+BC)=-23AB-13BC,故选D.18.A 取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形,所以AE⊥BC,AE=12(AB+AC).又AD=14(AB+AC),所以点D是AE的中点,AD=3.取AF=18BC,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知AP=AD+18BC=AD+AF.因为△APD是直角三角形,AF=12,所以△APD的面积为12×12×3=34.4
