课时规范练24 平面向量的概念及线性运算 基础巩固组1.下列说法错误的是( )A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等2.设a,b是非零向量,则a=2b是a|a|=b|b|成立的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.(2020河南实验中学4月模拟,6)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=( )A.12ADB.ADC.BCD.12BC4.已知向量a与b不共线,AB=a+mb,AC=na+b(m,n∈R),则AB与AC共线的条件是( )A.m+n=0B.m-n=0C.mn+1=0D.mn-1=05.在△ABC中,AD是边BC上的中线,过点B的直线l与AD,AC分别相交于E,F两点,若AE=12AD,AF=λAC,则λ=( )A.13B.25C.411D.5136.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD中,若DE=EC,AE交BD于F点,则AF=( )A.23AB+13ADB.23AB-13ADC.13AB-23ADD.13AB+23AD7.已知O是四边形ABCD所在平面上任一点,AB∥CD且|OA-OB|=|OC-OD|,则四边形ABCD一定为( )A.菱形B.任意四边形C.平行四边形D.矩形8.已知向量e1与e2不共线,且向量AB=e1+me2,AC=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是( )\nA.mn=1B.mn=-1C.m+n=1D.m+n=-19.(2020安徽合肥二中高三段考)已知P为△ABC所在平面内一点,AB+PB+PC=0,|AB|=|PB|=|PC|=2,则△ABC的面积等于( )A.3B.23C.33D.4310.(2020河北武邑中学质检)在锐角三角形ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,y∈R),则xy= . 11.(2020山东德州高三模拟)设向量a,b不平行,向量a+14λb与-a+b平行.则实数λ= . 综合提升组12.(2020辽宁庄河高级中学期中)有下列说法,其中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且同向D.若a∥b,则存在唯一实数λ使得a=λb13.设a,b是非零向量,则“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.在等腰梯形ABCD中,AB=2DC,点E是线段BC的中点,若AE=λAB+μAD,则λ+μ=( )A.52B.54C.12D.1415.过△ABC的重心G作直线l,已知l与AB、AC的交点分别为M,N,S△ABCS△AMN=209,若AM=λAB,则实数λ的值为( )A.23或25B.34或35C.34或25D.23或3516.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO=λAB+μBC,其中λ,μ∈R,则λ+μ= . 创新应用组17.在平行四边形ABCD中,M是DC的中点,向量DN=2NB,设AB=a,AD=b,则MN= . 18.(2020山东青岛西海岸联盟校模考)在△ABC中,有如下结论:若M为△ABC的重心,则MA+MB+MC=0.设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,M为△ABC的重心.若aMA+bMB+33cMC=0,则内角A的大小为 ;当a=3时,△ABC的面积为 . \n参考答案课时规范练24 平面向量的概念及线性运算1.B 零向量的定义:零向量与任一向量平行,与任意向量共线,零向量的方向不确定,但模的大小确定为0,故A与C都是正确的;因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故B错误;对于D,因为向量相等的定义是:长度相等且方向相同的向量相等,所以方向相反的两个非零向量必不相等,故D正确,故选B.2.B 因为a,b是非零向量,由a=2b可知,a,b方向相同,所以a|a|=b|b|成立,即由a=2b可推出a|a|=b|b|成立;若a|a|=b|b|,则a=|a||b|b,而|a||b|不一定等于2,所以a|a|=b|b|不一定推出a=2b,所以a=2b是a|a|=b|b|成立的充分不必要条件.故选B.3.B ∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴EB+FC=(EF+FB)+(FE+EC)=FB+EC=12(AB+AC)=AD.故选B.4.D 由AB=a+mb,AC=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a与b不共线,∴1=λn,m=λ,即mn-1=0,故选D.5.A BE=AE-AB=12AD-AB=14(AC+AB)-AB=14AC-34AB.BF=AF-AB=λAC-AB,由于BE,BF共线,所以BE=μBF,即14AC-34AB=μ(λAC-AB),所以μ=34,μλ=14,得λ=13.故选A.6.D 如图,∵DE=EC,∴E为CD的中点.设AF=λAE=λAB+BC+12CD=λAB+AD-12AB=λ2AB+λAD,又B,F,D三点共线,∴λ2+λ=1,解得λ=23,∴AF=13AB+23AD.故选D.\n7.C 由|OA-OB|=|OC-OD|,可得|BA|=|DC|,即四边形中|AB|=|CD|.又由AB∥CD,所以AB∥CD,即四边形ABCD中有一组对边平行且相等,所以四边形ABCD为平行四边形,故选C.8.A 因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB=λAC,所以有e1+me2=nλe1+λe2,由此可得1=nλ,m=λ,所以mn=1.故选A.9.B 由|PB|=|PC|得,△PBC是等腰三角形.取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC.又AB+PB+PC=0,所以AB=-(PB+PC)=-2PD,所以PD=12AB=1,且PD∥AB,故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形.由|PB|=2,|PD|=1可得|BD|=3,则|BC|=23,所以△ABC的面积为12×2×23=23.10.3 由题设可得CA+AM=3(AB-AM),整理,得4AM=3AB+AC,即AM=34AB+14AC,则x=34,y=14.故xy=3.11.-4 ∵a,b不平行,a+14λb与-a+b平行,∴存在实数μ,使a+14λb=μ(-a+b),∴-μ=1,14λ=μ,∴λ=-4.12.B A错误,例如b=0,推不出a∥c;设AC的中点为M,BC的中点为D,因为2OA+OB+3OC=0,所以2×2OM+2OD=0,即2OM=-OD,所以O是MD的三等分点,可知O到AC的距离等于D到AC距离的13,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍,故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16,根据三角形面积公式可知B正确;C错误,两边平方可得-2a·b=2|a||b|,所以cos<a,b>=-1,即夹角为π,两向量反向,结论不正确;D错误,例如a=0,b=0,λ值不唯一.故选B.13.B 存在实数λ,使得a=λb,说明向量a,b共线,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|成立,当a,b反向时,|a+b|=|a|+|b|不成立,所以,充分性不成立.当|a+b|=|a|+|b|成立时,有a,b同向,存在实数λ,使得a=λb成立,必要性成立,即“存在实数λ,使得a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的必要不充分条件,故选B.14.B (方法1)取AB的中点F,连接CF,则四边形AFCD是平行四边形,所以CF∥AD,且CF=AD.因为AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(FC-FB)=AB+12AD-12AB=34AB+12AD,所以λ=34,μ=12,λ+μ=54,故选B.(方法2)连接AC,AE=12(AB+AC)=12AB+12(AD+DC)=12AB+12(AD+12AB)=34AB+12AD,所以λ=34,μ=12,λ+μ=54,故选B.15.B 设AN=xAC,因为G为△ABC的重心,所以AB+AC=3AG,即13λAM+13xAN=AG.由于M,N,G三点共线,所以13λ+13x=1,即x=λ3λ-1.因为S△ABCS△AMN=209,S△ABC=12|AB||AC|sinA,S△AMN=12|AM||AN|sinA,\n所以|AB||AC||AM||AN| =|AB||AC|λx|AB||AC| =1λx=209,即有20λ23λ-1=9,解得λ=34或35,故选B.16.23 由题意,得AD=AB+BD=AB+13BC,则2AO=AB+13BC,即AO=12AB+16BC.故λ+μ=12+16=23.17.16a-23b 根据题意画图如下.则DM=12DC=12AB=12a,DN=23DB=23(AB-AD)=23AB-23AD=23a-23b,∴MN=DN-DM=23a-23b-12a=16a-23b.18.π6 934 由aMA+bMB+33cMC=aMA+bMB+33c(-MA-MB)=a-33cMA+b-33cMB=0,且MA与MB不共线,∴a-33c=b-33c=0,∴a=b=33c.在△ABC中,由余弦定理可求得cosA=32,∴A=π6.若a=3,则b=3,c=33,S△ABC=12bcsinA=12×3×33×12=934.
