专题6.1数列的概念与简单表示法【基础巩固】一、填空题1．数列－1,3，－5,7，－9,11，…的一个通项公式an＝________.【答案】(－1)n(2n－1)【解析】观察可知an＝(－1)n(2n－1)．2．数列，－，，－，…的第10项是________．【答案】－3．(2022·南京、盐城调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝________.【答案】2n－1【解析】由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.4．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝________.【答案】【解析】设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.5．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝________.【答案】4【解析】依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.6．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝________.【答案】【解析】借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________.【答案】-4-\n【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝8．(2022·扬州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N*)，又anan＋1＝Sn，则a3－a1＝________.【答案】1【解析】因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1，令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.二、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解 (1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，……an－1＝an－2，an＝an－1.-4-\n将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.显然，当n＝1时也满足上式．综上可知，{an}的通项公式an＝.【能力提升】11．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是________．【答案】0【解析】∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.12．(2022·苏北四市期末)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，则a2016的值为________．【答案】－113．(2022·太原模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________.【答案】【解析】由an－an＋1＝nanan＋1得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，又因为a1＝1，所以＝＋1＝，所以an＝.14．(2022·镇江期末)已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解 (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．-4-\n-4-
