第六章数列\n第一讲 数列的概念与简单表示法\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 数列的有关概念概念含义数列按照__________排列的一列数数列的项数列中的__________数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式____________表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝________________叫做数列{an}的前n项和一定顺序每一个数an＝f(n)a1＋a2＋…＋an\n知识点二 数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点___________画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用______表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法(n，an)公式\nS1Sn－Sn－1\n知识点四 数列的分类\n1．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量__________依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是______________.从小到大一群孤立的点\n2．常见数列的通项公式(1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n.(2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.(3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n.(4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2.(5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n.(6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)．\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来．()(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)若an＋1－an>0(n≥2)，则函数{an}是递增数列．()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()×√×√\n\n(3)因为n＝1时，a2与a1不确定大小关系．(4)由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn，所以正确．\n题组二 走进教材2．(选修2P5练习T4改编)数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是()A．an＝n2B．an＝(－1)n·n2C．an＝(－1)n＋1·n2D．an＝(－1)n·(n＋1)2[解析]因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以an＝(－1)n＋1·n2.故选C．C\nD\n4．(选修2P9T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝_______.5n－4\n10\n6．(2018·全国卷Ⅰ，5分)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝______.[解析]解法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；－63\n\n考点突破·互动探究\n例1考点一由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透\n\n\n由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；MINGSHIDIANBO\n⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．\n角度1已知Sn求an问题(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝________.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝___________.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝_________.例22n－11考点二由an与Sn的关系求通项公式——多维探究\n\n\n\n例3\nSn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．MINGSHIDIANBO\n已知Sn求an的一般步骤(1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值．(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an.(4)写出an的完整表达式．\nB\nB\n\n\n例4考点三由递推关系求通项公式——多维探究\n\n例5A\n\n\n角度3形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an(2022·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝__________.3n－1－3例6\nMINGSHIDIANBO\n〔变式训练2〕根据下列条件，写出数列{an}的通项公式：(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则an＝___________；(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝____；(3)(角度3)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝_____________.n2－2n＋22×3n－1－1\n\n\n角度1数列的单调性若数列{an}满足an＝－2n2＋kn－1，且{an}是递减数列，则实数k的取值范围为_____________.例7(－∞，6)考点四数列的函数性质——多维探究\nA例8\n\n例99、10\n\n\nMINGSHIDIANBO\nD\nB\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例10\n\n\n热点二an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型在数列{an}中，(1)若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝__________.(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝________.4n－1＋n例113n－2n\n\n\nMINGSHIDIANBO\n－5·2n－1＋3n＋3(3n－2)·2n－1\n\n
