第01节数列的概念与简单表示法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．数列的前几项为，则此数列的通项可能是（ ）A.B.C.D.【答案】A2．【改编题】已知数列，则“”是“数列为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，若“数列为递增数列”，则，但不能推出，如，则不能推出“数列为递增数列”，所以“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.3．【改编题】数列满足，，（），则等于A.5B.9C.10D.15【答案】D【解析】令，则，即，则；故选D.3．4．【九江市2022年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:，…，该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则（）A.B.C.D.【答案】A12\n【解析】,则：.本题选择A选项.5．【2022届河南省洛阳市高三期中】已知数列的首项，则（）A.B.C.D.【答案】C6.【2022届河北省衡水中学押题卷】数列满足，（），则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以7．【原创题】在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设条抛物线至多把平面分成个部分，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】一条抛物线将平面至多分为2部分，两条抛物线将平面至多分为7部分，设第n条抛物线将平面至多分为f(n)部分,则第n+1条抛物线的情况如下：增加的这条抛物线,与原来的n条抛物线至多有4n个交点(由于抛物线是曲线,所以每两条抛物线至多有4个交点,与直线至多一个交点不同),这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段,这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二,即比原来增加了4n+1个区域,所以f(n+1)−f(n)=4n+1.本题选择D选项.8．【福建2022届总复习测试卷】已知数列满足，定义：使乘积12\n为正整数的叫做“期盼数”，则在区间内所有的“期盼数”的和为（）A.2036B.4076C.4072D.2026【答案】D9．如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是A.21B.34C.55D.89【答案】C【解析】根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，知：第1行的实心圆点的个数是0；第2行的实心圆点的个数是1；第3行的实心圆点的个数是1=0+1；第4行的实心圆点的个数是2=1+1；第5行的实心圆点的个数是3=1+2；第6行的实心圆点的个数是5=2+3；第7行的实心圆点的个数是8=3+5；第8行的实心圆点的个数是13=5+8；12\n第9行的实心圆点的个数是21=8+13；第10行的实心圆点的个数是34=13+21；第11行的实心圆点的个数是55=21+34.本题选择C选项.10．【2022届山西省太原市三模拟】已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D由等比数列求和公式有：，考查所给的选项：.本题选择D选项.11.【2022届河南省洛阳市高三期中】用表示不超过的最大整数（如）.数列满足，（），若，则的所有可能值得个数为（）A.B.C.D.【答案】B12\n12．对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列”．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】由数列是“减差数列”，得，即，即，化简得，当时，若恒成立，则恒成立，又当时，的最大值为，则的取值范围是.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2022届南宁二中、柳州高中高三9月联考】已知数列2022，2022，1，-2022，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2022项之和__________.【答案】401712\n14．【2022届江西九江高三模拟】已知数列各项均不为，其前项和为，且，则______.【答案】【解析】法一：当时，，即，∴.当时，，，两式相减得，∵，∴，∴，都是公差为的等差数列，又，，∴是公差为的等差数列，∴，∴．法二：通过观察，发现刚好符合条件，故．15．【2022届河南省八市重点高中高三9月】已知数列满足，且，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】∵两边同除以，得：，整理，得：即是以3为首项，1为公差的等差数列.12\n,即.16．【2022届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联盟摸底】若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列有__________个．【答案】4二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【2022届江西省南昌市高三上学期摸底】已知数列的前项和，记.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用，同时验证时也满足，可得通项公式；（2）利用分组求和及等比数列前项和公式可求得结果.试题解析：（1）∵，∴当时，∴；当时，，又，∴（2）由（1）知，，∴．18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且12\n(1)求数列的通项公式；(2)若，且数列{}的前项和为，求证：。【答案】(1)；(2)见解析.试题解析：(1)当时有……………………………1分所以,当时有,………………………………………3分又符合上式,所以…………………………………4分(2)………………………………8分所以………………………………………………………………11分所以……………………………………………………………………………12分19．【2022届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为数列的前项和，求证：.【答案】（1）（2）略12\n解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以20．【重庆市南开中学高三9月月考】在数列中，（）．（1）求的值；（2）是否存在常数，使得数列是一个等差数列？若存在，求的值及的通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）．【解析】试题分析：（1）直接把n=２，3，代入an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），再注意a１=５，即可求出数列的前三项；（2）先假设存在一个实数λ符合题意，得到必为与n无关的常数，整理即可求出实数λ，进而求出数列{an}的通项公式．12\n试题解析：（1），；（2）假设存在满足条件的常数，则常数又此时．21.设数列的前项和为，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）．试题解析：（1）由，及，得，整理，得，∴，又，∴是以1为首项，2为公比的等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1），得，∴，∴，①，②由②-①，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【2022届山东省东营市、潍坊市高三下模拟】下表是一个由个正数组成的数表，用表示第行第个数，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知．12\n（Ⅰ）求和；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）当为偶数时；当为奇数时．试题解析：（Ⅰ）设第1列依次组成的等差数列的公差为，设每一行依次组成的等比数列的公比为．依题意，∴，∴，……………………………………………………………3分又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴．………………………………………………………6分（Ⅱ）∵…………………………7分∴…10分当为偶数时，………………………………………………………………………11分当为奇数时12\n．……………………………………………………………………12分12
