专题7.2一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【答案】92．对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是________．【答案】{x|x<1或x>3}【解析】x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]时恒成立．只需g(－1)>0且g(1)>0，即解之得x<1或x>3.3．(2022·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________．5\n【答案】{x|－1<x<2}【解析】∵2x2－x<4＝22，∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1<x<2.4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.5．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________．【答案】{x|x＞1}【解析】由题意知或解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．6．(2022·盐城期中)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2022·扬州期末)若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．【答案】【解析】由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞0的解集为.8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则解得－＜m＜0.5\n二、解答题9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．解 (1)由题意得，y＝100·100.因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.【能力提升】11．(2022·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是________．【答案】5\n12．(2022·南通调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x|－ln2<x<ln3}【解析】法一 依题意可得f(x)＝a(x－3)(a<0)，则f(ex)＝a(ex－3)(a<0)，由f(ex)＝a(ex－3)>0，可得<ex<3，解得－ln2<x<ln3.法二 由题知，f(x)>0的解集为，令<ex<3，得－ln2<x<ln3.13．(2022·无锡模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则有＝1，故a＝2.由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．∴x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解 原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.5\n5
