课后限时集训(五)一元二次不等式及其解法建议用时：40分钟一、选择题1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为( )A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜1或x＞2}A [原不等式可化为(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，故选A.]2．若0＜m＜1，则不等式x2－x＋1＜0的解集为( )D [不等式x2－x＋1＜0可化为(x－m)＜0，由0＜m＜1知m＜，因此原不等式的解集为，故选D.]3．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＞0的解集为( )A．B．C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＜－2或x＞1}A [由题意知即解得则不等式2x2＋bx＋a＞0，即为2x2＋x－1＞0，解得x＞或x＜－1，故选A.]4．不等式x2－2x＋m＞0对一切实数x恒成立的充要条件是( )A．m＞2B．0＜m＜1C．m＞0D．m＞1D [若不等式x2－2x＋m＞0对一切实数x恒成立，则对于方程x2－2x＋m＝0，Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，所以m＞1是不等式x2－2x＋m＞0对一切实数x恒成立的充要条件，结合选项知选D.]5．若存在实数x，使得不等式x2－ax＋1＜0成立，则实数a的取值范围是( )A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．(－2,2]D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)\nD [由题意知，当x∈R时，不等式x2－ax＋1＜0有解，则Δ＝a2－4＞0，解得a＞2或a＜－2.故选D.]6．(多选)(2020·山东淄博期末)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是( )A．6B．7C．8D．9ABC [设y＝x2－6x＋a，则其图象为开口向上，对称轴是直线x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则解得5＜a≤8，又a∈Z，所以a的值可以为6,7,8.故选ABC.]二、填空题7．不等式x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为________．{x|－a＜x＜3a} [x2－2ax－3a2＜0⇔(x－3a)(x＋a)＜0.又a＞0，则－a＜3a，所以－a＜x＜3a.]8．关于x的不等式x2＋ax＋a≤1对一切x∈(0,1)恒成立，则a的取值范围为________．(－∞，0] [原不等式可化为x2＋ax＋a－1≤0，设f(x)＝x2＋ax＋a－1，由题意知即解得a≤0.]9．不等式＜1的解集是________．{x|x＞1或x＜－1} [由＜1得＜0，原不等式可化为(x－1)(x＋1)＞0，解得x＞1或x＜－1.]三、解答题10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．[解] (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，即a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}．(2)∵f(x)＞b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴解得故a的值为3±，b的值为－3.\n11．解不等式2x2－3(1＋a)x＋6a＞0(0＜a＜1)．[解] Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝9(a－3).(1)当＜a＜1时，Δ＜0，原不等式的解集为R.(2)当a＝时，原不等式为2x2－4x＋2＞0，即(x－1)2＞0，解得x≠1，原不等式的解集为{x|x≠1}．(3)当0＜a＜时，Δ＞0，方程2x2－3(1＋a)x＋6a＝0的两个根为x1＝，x2＝，因为x2＞x1，所以原不等式的解集为综上所述：当0＜a＜时，原不等式的解集为当a＝时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当＜a＜1时，原不等式的解集为R.1．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对任意的x∈(1,4)都有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．C．D．D [∵对任意的x∈(1,4)，都有f(x)＝ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>＝2，对任意的x∈(1,4)恒成立，∵<<1，\n∴2∈，∴实数a的取值范围是.]2．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________． [由题意可知，方程x2－2ax＋a＝－1有唯一解，∴Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，即a＝.]3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．[解] 原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.(1)当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是∅；当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x＞2}．(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)＞0，由于＜2，故原不等式的解集是.综上所述，当a＜0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为∅；当a＞时，不等式的解集为.
