课时提升练(三十二) 一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为图中的( )【解析】 由根与系数的关系得＝－2＋1＝－1，－＝－2，∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，故f(－x)的图象开口向下，顶点为，B选项适合．【答案】 B2．(2022·大纲全国卷)不等式组的解集为( )A．{x|－2<x<－1}B.{x|－1<x<0}C．{x|0<x<1}D．{x|x>1}【解析】 由得所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.【答案】 C3．(2022·安徽高考)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为( )A．{x|x＜－1或x＞lg2}B．{x|－1＜x＜lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}【解析】 由题意知，一元二次不等式f(x)＞0的解集为.5\n而f(10x)＞0，∴－1＜10x＜，解得x＜lg，即x＜－lg2.【答案】 D4．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )A．(4,5)B．(－3，－2)∪(4,5)C．(4,5]D．[－3，－2)∪(4,5]【解析】 原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，解集为1＜x＜a，此时解集中的整数应为2、3、4，则4＜a≤5；当a＜1时，解集为a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5]．【答案】 D5．(2022·郑州模拟)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．[－1,4]B．(－∞，－2]∪[，5＋∞)C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D．[－2,5]【解析】 因为x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.【答案】 A6．设函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集是( )A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)【解析】 (1)当x＜0时，f(x)＝x＋6＞3，则－3＜x＜0.(2)当x≥0时，x2－4x＋6＞3⇔(x－1)(x－3)＞0，解之得，x＞3或0≤x＜1.由(1)(2)知，f(x)＞3的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．【答案】 A二、填空题7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.【解析】 根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a25\n＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.【答案】 28．设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100＝________.【解析】 由不等式x2－x＜2nx(n∈N*)得其解集为(0,2n＋1)，其中整数解有2n个，即an＝2n，∴S100＝＝10100.【答案】 101009．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又如甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则超速行驶应负主要责任的是________．【解析】 由题意列出不等式组分别求解，得由于x＞0，从而可得x甲＞30km/h，x乙＞40km/h.经比较知，乙车超过限速，应负主要责任．【答案】 乙三、解答题10．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＜0(a∈R)．【解】 原不等式可化为(x－a)(x－a2)＜0，(1)当a＝a2即a＝0或a＝1时，原不等式变为x2＜0或(x－1)2＜0，解集为∅；(2)当a＞a2即0＜a＜1时，解集为{x|a2＜x＜a}；(3)当a2＞a即a＜0或a＞1时，解集为{x|a＜x＜a2}；综上，当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．11．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．【解】 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0；5\n若m≠0，则⇒－4<m<0.所以m的取值范围为{m|－4<m≤0}．(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，只需mx2－mx＋m＜6恒成立(x∈[1,3])，又因x2－x＋1＝2＋＞0，所以m<.因为y＝＝，由t＝2＋在[1,3]上是增函数，∴y＝在[1,3]上是减函数，因此函数的最小值ymin＝.所以m的取值范围是.12．(2022·辽宁高考改编)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解】 当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，∴a≥max.设φ(x)＝，φ′(x)＝＝－＝－＞0，∴φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.∴a≥－6.当x∈[－2,0)时，a≤，∴a≤min.5\n仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.当x∈[－2，－1)时，φ′(x)＜0.当x∈(－1,0)时，φ′(x)＞0.∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.综上知－6≤a≤－2.5
