【高考领航】2022高考数学总复习6-2一元二次不等式及其解法练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考湖南卷)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．解析：函数f(x)＝ex－1为增函数，其值域为(－1，＋∞)，故f(a)>－1.若有f(a)＝g(b)，则需满足g(b)＝－b2＋4b－3>－1，化简整理得b2－4b＋2<0，解得2－<b<2＋.答案：(2－，2＋)2．不等式＞0的解集为________．解析：由＞0得或可解－2＜x＜1或x＞3.答案：{x|－2＜x＜1或x＞3}3．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x2＋4x－(4x－x2)＝2x2≥0，∴f(2－a2)＞f(a)⇒2－a2＞a⇒a2＋a－2＜0⇒－2＜a＜1.答案：(－2,1)4．(2022·广东韶关月考)不等式≤x－2的解集是________．解析：(1)当x－2>0，即x>2时⇔(x－2)2≥4，∴x≥4.(2)当x－2<0，即x<2时⇔(x－2)2≤4，∴0≤x<2.答案：{x|0≤x<2或x≥4}5．设二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，满足f(x＋3)＝f(3－x)，则使f(x)＞c－8的x的取值范围为________．解析：∵f(x＋3)＝f(3－x)，∴x＝3是y＝f(x)的对称轴，∴－＝3，6\n∴b＝－6，∴f(x)＝x2－6x＋c，∴f(x)＞c－8，即x2－6x＋8＞0，解得x＜2或x＞4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)6．(2022·连云港模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围为________．解析：∵x∈(0,2]，∴a2－a≥＝.要使a2－a≥在x∈(0,2]时恒成立，则a2－a≥max，由均值不等式得x＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立，即max＝.故a2－a≥，解得a≤或a≥.答案：∪7．若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．解析：由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[(x＋6)x]，2f(4)＝f(16)．根据单调性得(x＋6)x＜16，解得－8＜x＜2.又x＋6＞0，x＞0，所以0＜x＜2.答案：{x|0＜x＜2}二、解答题8．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a＜0，又×2＝＜0，则c＞0.又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．6\n∴－＝，即＝－.又∵＝－，∴b＝－a，c＝－a.∴不等式变为x2＋x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，∴所求不等式的解集为.法二：由已知得a＜0且＋2＝－，×2＝，知c＞0.设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，其中＝，－＝＝＝＋，∴x1＝＝－3，x2＝.∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为.9．已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式＞1(a＜0)．解：(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)，∴可设f(x)＝Ax(x－5)(A＞0)，∴f(x)的对称轴为x＝且开口向上．∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6A＝12.6\n∴A＝2.∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x.(2)由(1)知不等式可化为－1＞0，即＞0，它等价于(x－5)(x＋)＜0(∵a＜0)，①若－1＜a＜0，则5＜－，∴5＜x＜－；②若a＝－1，则x∈∅；③若a＜－1，则－＜5，∴－＜x＜5.综上可知：当－1＜a＜0时，原不等式的解集为{x|5＜x＜－}；当a＝－1时，原不等式的解集为∅；当a＜－1时，原不等式的解集为{x|－＜x＜5}．【B组】一、填空题1．(2022·连云港二模)已知函数f(x)＝若f(x)≥1，则x的取值范围是________．解析：当x≤0时，由x2≥1，得x≤－1；当x＞0时，由2x－1≥1，得x≥1.综上可知，x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．(2022·海南三亚模拟)已知{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知，ax2－ax＋1≥0恒成立，若a＝0，则不等式为1≥0恒成立，若a≠0，则有∴0＜a≤4.∴应有0≤a≤4.答案：0≤a≤43．(2022·盐城二模)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f(－3)＝f(1)＝0.则不等式x3f(x)＜0的解集为________________．解析：由题意可画y＝f(x)的草图，求x3f(x)＜0的解集．6\n(1)x＞0时，f(x)＜0，这时，x∈(0,1)∪(3，＋∞)；(2)x＜0时，f(x)＞0，这时，x∈(－3，－1)．故原不等式x3f(x)＜0的解集为(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)4．(2022·江西九江模拟)若关于x的不等式x2－ax－a＞0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．解析：由Δ1＜0即a2－4(－a)＜0，得－4＜a＜0；由Δ2≥0即a2－4(3－a)≥0得a≤－6或a≥2.答案：(－4,0)；(－∞，－6]∪[2，＋∞)5．(2022·南师大附中月考)不等式(x＋2)≤0的解集为________．解析：或x2－9＝0，即或x＝±3，即x≤－3或x＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}6．若不等式－4＜2x－3＜4与不等式x2＋px＋q＜0的解集相同，则＝________.解析：由－4＜2x－3＜4得－＜x＜，由题意得－＝－p，×＝q，∴＝.答案：7．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值是________．解析：由题意知方程ax2＋bx＋2＝0的两个根为－和，由根与系数的关系可得，∴a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.答案：－14二、解答题8．(2022·常州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1，x2∈R，恒有2f≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)＜0的解集为A.(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．6\n解：(1)对任意的x1、x2∈R，由f(x1)＋f(x2)－2f＝a(x1－x2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a≥0.由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a＞0.由f(x)＝ax2＋x＝ax＜0，解得A＝.(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因为集合B是集合A的子集，所以a－4≤0，且－a－4≥－.化简得a2＋4a－1≤0，解得0＜a≤－2＋.9．(2022·南通一模)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)(x－2)＞0.当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.6
