课时作业38 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合A＝{x||2x＋1|>3}，集合B＝{x|y＝}，则A∩(∁RB)＝( )A．(1,2)B．(1,2]C．(1，＋∞)D．[1,2]解析：由A＝{x||2x＋1|>3}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|y＝}＝{x|≥0}＝{x|x>2或x≤－1}，所以∁RB＝{x|－1<x≤2}，所以A∩(∁RB)＝{x|1<x≤2}．答案：B2．已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝( )A．[－，2)B．(－1，－]C．(－1，e)D．(2，e)解析：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>e或x≤－}，故A∩B＝(－1，－]．答案：B3．“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．答案：A4．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是( )A．(4,5)B．(－3，－2)∪(4,5)C．(4,5]D．[－3，－2)∪(4,5]解析：原不等式可能为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，得1<x<a6\n，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a≤5，当a<1时得a<x<1，则－3≤a<－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5]．答案：D5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )A.B.C．(1，＋∞)D.解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，f(1)≤0，解得a>－，且a≤1，故a的取值范围为.答案：B6．已知奇函数f(x)满足f(－1)＝f(3)＝0，在区间[－2,0)上是减函数，在区间[2，＋∞)是增函数，函数F(x)＝，则F(x)>0的解集是( )A．{x|x<－3，或0<x<2，或x>3}B．{x|x<－3，或－1<x<0，或0<x<1，或x>3}C．{x|－3<x<－1，或1<x<3}D．{x|x<－3，或0<x<1，或1<x<2，或2<x<3}解析：由题意，可得f(x)的草图如下：①x<0时，xf(－x)>0，即xf(x)<0，解得－3<x<－1；②x>0时，－f(x)>0，即f(x)<0，解得1<x<3，综上所述，F(x)>0的解集为{x|－3<x<－1或1<x<3}．答案：C二、填空题7．若关于x的不等式x2＋(2－m)x<0的解集是{x|0<x<2}，则实数m＝________.6\n解析：由题知x＝0和x＝2是方程x2＋(2－m)x＝0的根，可得m＝3.答案：38．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，∴实数a的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]9．已知集合A＝{x||2x－3|≤1，x∈R}，集合B＝{x|ax2－2x≤0，x∈R}，A∩(∁UB)＝∅，则实数a的范围是________．解析：A＝[1,2]，由于A∩(∁UB)＝∅，则A⊆B，当a＝0时，B＝{x|x≥0，x∈R}＝[0，＋∞)，满足A⊆B；当a<0时，B＝＝∪[0，＋∞)，满足A⊆B；当a>0时，B＝＝，若A⊆B，则≥2，即0<a≤1；结合以上讨论，实数a的范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1]三、解答题10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，∴x＝1与x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得解得(2)原不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，可化为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.综上所述，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；6\n当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.那么当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<，∴x－m<0,1－an＋ax>0.∴f(x)－m<0，即f(x)<m.1．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )A．[1,19]B．(1,19)C．[1,19)D．(1,19]解析：函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1时，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a2＋4a－5≠0时，应有解得1<a<19.综上1≤a<19.答案：C2．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间与上分别递减和递增，则不等式x3f(x)<0的解集为( )A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0)6\nD．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：由图知，f(x)<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x3f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．答案：D3．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．解析：由题意知a<0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，∴f(x)max＝f＝－<1，∴a>－4，故－4<a<0.答案：(－4,0)4．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－>1，∴a<0且>1，∴ac>0，∴对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，∴函数y＝f(x)必有两个不同零点．(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝2＋8＋4，由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和6\nt(t>1)，由根与系数的关系知＝t，∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．∴|m－n|>，∴|m－n|的取值范围为(，＋∞)．6
