提升训练14 电磁感应的电路和图象问题1.(2022浙江镇海中学模拟)如图甲所示,空间存在一宽度为2L的有界匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里。在光滑绝缘水平面内有一边长为L的正方形金属线框,其质量m=1kg、电阻R=4Ω,在水平向左的外力F作用下,以初速度v0=4m/s匀减速进入磁场,线框平面与磁场垂直,外力F的大小随时间t变化的图线如图乙所示。线框右边刚进入磁场时开始计时。(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小;(2)求线框进入磁场的过程中,通过线框的电荷量q;(3)判断线框能否从右侧离开磁场,并说明理由。2.(2022浙江宁波选考模拟)如图所示为倾角为α=30°的固定粗糙斜面,斜面上相隔为d的平行虚线MN与PQ间有大小为B的匀强磁场,方向垂直斜面向下,一质量为m,电阻为R,边长为L的正方形单匝纯电阻金属线圈,在沿斜面向上的恒力作用下,以速度大小v沿斜面向上匀速进入磁场,线圈ab边刚进入磁场和cd边刚要离开磁场时,ab边两端的电压相等。已知磁场的宽度d大于线圈的边长L,线圈与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度g取10m/s2。求:(1)线圈有一半面积进入磁场时通过ab边的电荷量q;-21-\n(2)恒力F的大小;(3)线圈通过磁场的过程中,ab边产生的热量Q。3.如图甲所示,两根电阻不计的平行光滑金属导轨MN、PQ固定于水平面内,导轨间距d=0.40m,一端与阻值R=0.15Ω的电阻相连。导轨间x≥0一侧存在一个方向与导轨平面垂直的磁场,磁感应强度沿x方向均匀减小,可表示为B=0.50(4-x)(T)。一根质量m=0.80kg、电阻r=0.05Ω的金属棒置于导轨上,并与导轨垂直。棒在外力作用下从x=0处以初速度v0=0.50m/s沿导轨向右运动。已知运动过程中棒始终与导轨垂直,电阻上消耗的功率不变。(1)求金属棒在x=0处时回路中的电流;(2)求金属棒在x=2.0m处速度的大小;(3)金属棒从x=0处运动到x=2.0m处的过程中:①在图乙中画出金属棒所受安培力F安随x变化的关系图线;②求外力所做的功。-21-\n4.一辆塑料玩具小汽车,底部安装了一个10匝的导电线圈,线圈和小车总质量m=0.5kg,线圈宽度l1=0.1m,长度与车身长度相同l2=0.25m,总电阻R=1.0Ω;某次试验中,小车在F=2.0N的水平向右恒定驱动力作用下由静止开始在水平路面上运动,当小车前端进入右边的匀强磁场区域ABCD时,恰好达到匀速直线运动状态,磁场方向竖直向下,磁感应强度B随时间t的变化情况如B-t图象所示,以小车进入磁场的时候作为计时的起点;磁场长度d=1.0m,磁场宽度AB大于小车宽度,整个过程中小车所受阻力为其总重力的。求:(1)小车前端碰到磁场边界AB时线圈中的电流大小及小车的速度;(2)从静止开始到小车前端碰到磁场边界CD的整个过程中,通过线圈中的电荷量;(3)从静止开始到小车前端碰到磁场边界CD的整个过程中,线圈中产生的焦耳热。-21-\n5.如图甲所示,P、Q为水平面内平行放置的金属长直导轨,间距为d,处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。一根质量为m、电阻为r的导体棒ef垂直放在P、Q导轨上,导体棒ef与P、Q导轨间的动摩擦因数为μ。质量为M的正方形金属框abcd的边长为L,每边电阻均为r,用细线悬挂在竖直平面内,ab边水平,金属框a、b两点通过细导线与导轨相连,金属框的上半部分处在磁感应强度大小为B、方向垂直框面向里的匀强磁场中,下半部分处在大小也为B、方向垂直框面向外的匀强磁场中,不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力。现用一电动机以恒定功率沿导轨方向水平牵引导体棒ef向左运动,从导体棒开始运动时计时,悬挂金属框的细线的拉力FT随时间t的变化如图乙所示,求:(1)t0时刻以后通过ab边的电流;(2)t0时刻以后电动机牵引力的功率P;(3)求0到t0时刻导体棒ef受到的平均合外力。6.(2022浙江温州中学高二期末)如图,ab和cd为质量m=0.1kg、长度L=0.5m、电阻R=0.3Ω的两相同金属棒,ab放在半径分别为r1=0.5m和r2=1m的水平同心圆环导轨上,导轨处在磁感应强度为B=0.2T竖直向上的匀强磁场中;cd跨放在间距也为L=0.5m、倾角为θ=30°的光滑平行导轨上,导轨处于磁感应强度也为B=0.2T-21-\n方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。四条导轨由导线连接并与两导体棒组成闭合电路,除导体棒电阻外其余电阻均不计。ab在外力作用下沿圆环导轨匀速转动,使cd在倾斜导轨上保持静止。ab与两圆环导轨间的动摩擦因数均为0.5,重力加速度g取10m/s2。求:(1)从上向下看ab应沿顺时针还是逆时针方向转动?(2)ab转动的角速度大小;(3)作用在ab上的外力的功率。7.如图,光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l,在M、P点和N、Q点间各连接一个阻值恒为R的灯泡,在两导轨间efhg矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的有界匀强磁场,磁感应强度为B0,且磁场区域可以移动。一电阻也为R、长度也刚好为l的导体棒ab垂直固定在磁场左边的导轨上,离灯L1足够远。现让匀强磁场在导轨间以恒定速度v0向左移动,当棒ab刚处于磁场时两灯恰好正常工作,棒ab与导轨始终保持良好接触,导轨电阻不计。(1)求灯泡的额定功率;-21-\n(2)求在磁场区域经过棒ab的过程中棒ab产生的热量Q;(3)若取走导体棒ab,保持磁场不移动(仍在efhg矩形区域),而是均匀改变磁感应强度,为保证额定电压为U的灯L1和L2都不会烧坏且有电流通过,试求磁感应强度减小到零的最短时间tmin。8.磁流体推进船的动力来源于电流与磁场间的相互作用,如图a所示是在平静海面上某实验船的示意图,磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道(简称通道)组成。如图b所示,通道是尺寸为a×b×c的长方体,工作时,在通道内沿z轴正方向加磁感应强度为B的匀强磁场。海水沿y轴方向流过通道,已知海水的电阻率ρ。(1)若推进船静止不动,在P、Q间连接一电阻不计的导线,海水以v0速度沿着y轴运动,试求此时通过连接导线的电流。(2)假若海水开始静止,在P、Q面间加可以自动调节的电压,可使流过通道内海水的电流保持恒定值I。回答以下问题:①要使磁流体推进船沿着负y轴方向运动,图b中P、Q哪点电势高?②若船保持静止,通道内海水以v0速度匀速运动,求推进器对海水推力的功率;③若船以vs的速度匀速前进,在通道内海水的速率增加到vd。试求磁流体推进器消耗的功率。-21-\n9.如图所示,MN、PQ为固定在同一水平面上的相互平行的光滑金属导轨,两轨道间距为L,今有两根质量均为m,电阻均为R的金属棒ab、cd紧靠在一起,放置在轨道上x=0的位置,与轨道接触良好。金属棒cd通过一根拉直的细线跨过定滑轮连接一个质量为M的物块,物块放置在水平地面上,在x<L的轨道间区域存在着磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场,B随时间的变化规律如图所示,其中B0和k已知。在t=0时刻给金属棒ab一个沿x轴正方向的初速度v0,使棒开始运动,此时cd棒静止。在t=t0时刻ab棒恰好运动到磁场边界x=L处并将继续向x轴正方向运动,忽略摩擦和空气阻力,轨道电阻不计,求:(1)ab棒开始运动时cd棒中电流的方向;(2)物块开始离开地面的时刻t;(3)t=t0时刻ab棒的速度;(4)写出0~t0时间内,地面对物块的支持力FN与ab棒的位移x的关系表达式。-21-\n10.(2022浙江湖州选考模拟)如图甲所示,在粗糙的水平面上有一滑板,滑板上固定着一个用粗细均匀的导线绕成的正方形闭合线圈,匝数N=10,边长L=0.4m,总电阻R=1Ω,滑板和线圈的总质量m=2kg,滑板与地面间的动摩擦因数μ=0.5,前方有一长4L、高L的矩形区域,其下边界与线圈中心等高,区域内有垂直线圈平面的水平匀强磁场,磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化。现给线圈施加一水平拉力F,使线圈以速度v=0.4m/s匀速通过矩形磁场。t=0时刻,线圈右侧恰好开始进入磁场。g取10m/s2。求:(1)t=0.5s时线圈中通过的电流;(2)线圈左侧进入磁场区域前的瞬间拉力F的大小;(3)线圈通过图中矩形区域的整个过程中拉力F的最大值与最小值之比。11.涡流制动是一种利用电磁感应原理工作的新型制动方式,它的基本原理如图甲所示。水平面上固定一块铝板,当一竖直方向的条形磁铁在铝板上方几毫米高度上水平经过时,铝板内感应出的涡流会对磁铁的运动产生阻碍作用。涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图乙所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统,能在长为L1=0.6m,宽L2=0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场,磁感应强度可随车速的减小而自动增大(由车内速度传感器控制),但最大不超过B1=2T,将铝板简化为长大于L1,宽也为L2的单匝矩形线圈,间隔铺设在轨道正中央,其间隔也为L2,-21-\n每个线圈的电阻为R1=0.1Ω,导线粗细忽略不计。在某次实验中,模型车速度为v=20m/s时,启动电磁铁系统开始制动,车立即以加速度a1=2m/s2做匀减速直线运动,当磁感应强度增加到B1时就保持不变,直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m1=36kg,空气阻力不计。不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。(1)电磁铁的磁感应强度达到最大时,模型车的速度为多大?(2)模型车的制动距离为多大?(3)为了节约能源,将电磁铁换成若干个并在一起的永磁铁组,两个相邻的磁铁磁极的极性相反,且将线圈改为连续铺放,如图丙所示,已知模型车质量减为m2=20kg,永磁铁激发的磁感应强度恒为B2=0.1T,每个线圈匝数为N=10,电阻为R2=1Ω,相邻线圈紧密接触但彼此绝缘。模型车仍以v=20m/s的初速度开始减速,为保证制动距离不大于80m,至少安装几个永磁铁?-21-\n12.两根平行金属导轨固定倾斜放置,与水平面夹角为37°,相距d=0.5m,a、b间接一个电阻R,R=1.5Ω。在导轨上c、d两点处放一根质量m=0.05kg的金属棒,bc长L=1m,金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5。金属棒与导轨接触点间电阻r=0.5Ω,金属棒被两个垂直于导轨的木桩顶住而不会下滑,如图1所示。在金属导轨区域加一个垂直导轨斜向下的匀强磁场,磁场随时间的变化关系如图2所示。重力加速度g取10m/s2。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)。求:(1)0~1.0s内回路中产生的感应电动势大小(金属棒未离开木桩)。(2)t=0时刻,金属棒所受的安培力大小。-21-\n(3)在磁场变化的全过程中,若金属棒始终没有离开木桩而上升,则图2中t0的最大值。(4)通过计算在图3中画出0~t0max内金属棒受到的静摩擦力随时间的变化图象。13.(2022浙江湖州安吉一中期末)如图所示,两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面的夹角θ=30°,导轨电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上。长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量为m,电阻为R。两金属导轨的上端连接一个灯泡,灯泡的电阻也为R。现闭合开关S,给金属棒施加一个方向垂直于棒且平行于导轨平面向上、大小为F=2mg的恒力,使金属棒由静止开始运动,当金属棒达到最大速度时,灯泡恰能达到它的额定功率。重力加速度为g。(1)求金属棒能达到的最大速度vm的大小;-21-\n(2)求灯泡的额定功率PL;(3)若金属棒上滑距离为s时速度恰达到最大,求金属棒由静止开始上滑2s的过程中,金属棒上产生的热量Q1。答案：1.答案(1)0.33T (2)0.75C (3)见解析解析(1)由题干F-t图象可知,线框加速度a==2m/s2线框的边长L=v0t-at2=4×1m-×2×12m=3mt=0时刻线框中的感应电流I=线框所受的安培力F安=BIL由牛顿第二定律有F1+F安=ma由F1=1N,联立得B=T≈0.33T。(2)线框进入磁场的过程中,平均感应电动势E=平均电流I=-21-\n通过线框的电荷量q=It联立得q=0.75C。(3)设匀减速至速度为零的过程中线框通过的位移为x,由运动学公式得0-=-2ax代入数值得x=4m<2L所以线框不能从右侧离开磁场。2.答案(1) (2)mgsinα+μmgcosα+(3)-mv2解析(1)线圈一半面积进入磁场时产生的感应电动势,感应电流q=Δt=(2)线圈匀速运动,受力平衡F=mgsinα+F安+μmgcosαF安=F=mgsinα+μmgcosα+(3)ab边进磁场时Uab=BLvcd边出磁场时Uab'=BLv1,已知Uab=Uab',可得v1=3v根据动能定理F(L+d)-mg(L+d)sinα-μmg(L+d)cosα+W安=mv2Q总=-W安Qab=Q总=-mv23.答案(1)2A (2)1.0m/s (3)①见解析-21-\n②2.7J解析(1)x=0处的磁感应强度B0=2.0T,则金属棒在x=0处产生的感应电动势E=B0dv0=0.40V根据闭合电路欧姆定律,此时回路中的电流I==2.0A。(2)因为运动过程中电阻上消耗的功率不变,所以金属棒产生的感应电动势E和回路中的电流I都保持不变,与x=0处相等。x=2m处的磁感应强度B2=1.0T,设金属棒在x=2m处的速度为v2,则有E=B2dv2所以v2=1.0m/s。(3)①金属棒在x=0处所受的安培力F0=B0Id=1.6N金属棒在x=2m处所受的安培力F2=B2Id=0.8N金属棒所受的安培力F安=BId=0.4(4-x)(N)金属棒从x=0运动到x=2m的过程中,金属棒所受安培力F安随x变化的示意图如图所示。②在金属棒从x=0处运动到x=2m处的过程中,设外力做的功为W,金属棒克服安培力做的功为W安,根据动能定理得W-W安=在上图中,图线与坐标轴所围面积为金属棒克服安培力所做的功,可求得W安=(F0+F2)x=2.4J所以W=2.7J。4.答案(1)1A 1m/s (2)0.75C (3)0.75J解析(1)对小车匀速进入过程,F=kmg+nBI1l1,解得I1=1AI1=,E1=nBl1v0,联立以上各式解得v0=1m/s(2)进入过程的电荷量q1=n,解得q1=0.25C进入磁场后,由于磁场增强,线圈中产生感生电动势,但是线圈左右两边所受的安培力时刻等大反向,因此小车将在恒力F和阻力的作用下做匀加速直线运动。线圈中的感应电动势,E2=nS,S=l1l2,解得E2=1V,I2==1A-21-\n进入后小车加速度a==2m/s2由运动学公式d-l2=v0t2+解得t2=0.5s进入后的电荷量q2=I2t2=0.5C整个过程总电荷量q=q1+q2=0.75C(3)进入过程中的焦耳热Q1=F安l2,F安=F-kmg,解得Q1=0.25J进入后到前端碰到CD,Q2=Rt2=0.5J,所以总热量Q=Q1+Q2=0.75J5.答案(1) (2)(μmgL+Mgd) (3)解析(1)以金属框为研究对象,从t0时刻开始拉力恒定,故电路中电流恒定,设ab边中电流为I1,cd边中电流为I2由受力平衡,得BI1L+FT=Mg+BI2L由题图知FT=ad、dc、cb三边电阻串联后再与ab边电阻并联,所以I1∶I2=3∶1,I1=3I2由以上各式解得I1=(2)设总电流为I,由闭合路欧姆定律得I=,R=rE=Bdv,I=I1+I2=I1=解得v=电动机的牵引功率恒定,P=F·v对导体棒F=μmg+BId解得P=(μmgL+Mgd)(3)从0到t0时刻,导体棒的速度从0增大到v=-21-\n由动量定理可知F合(t0-0)=mv-0F合=6.答案(1)顺时针 (2)40rad/s (3)30W解析(1)cd受力平衡,则所受安培力应沿导轨向上,电流方向由d到c,导体棒ab中为由b到a,则从上往下看,ab应沿顺时针方向转动。(2)对cd进行受力分析可知mgsinθ=BIL代入数据可得流过ab和cd的电流I=A=5A根据闭合电路欧姆定律,ab产生的感应电动势E=I·(2R)=5×2×0.3V=3Vab切割磁感线产生感应电动势E=BLv所以E=BL·(ωr1+ωr2),代入数据可得E=0.2×0.5××(0.5ω+ω)=3V所以ω=40rad/s(3)从能量转化和守恒的角度看,作用在ab棒上的外力对ab棒做功的功率,在数值上应等于ab棒克服摩擦力做功的功率与回路产生的电功率之和。所以P=Ffava+Ffbvb+IE。其中Ffa=Ffb=μ·mg=0.5××0.1×10=0.25Nva=ωr1=40×0.5m/s=20m/svb=ωr2=40×1.0m/s=40m/s所以P=0.25×20W+0.25×40W+5×3W=30W7.答案(1) (2) (3)解析(1)设灯泡额定电压为U,当ab刚处于磁场时,灯正好正常工作,则电路中外电压U外=U,内电压U内=2U,导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势为E=3U=B0lv0解得U=B0lv0,灯泡的额定功率P=。-21-\n(2)产生的热量Q灯=Pt=P=棒ab中电流为灯泡中电流的二倍,由焦耳定律Q=I2Rt可知,棒ab中产生的热量是每个灯泡中产生热量的4倍,即Q=4Q灯=。(3)经时间t,磁感应强度从B0均匀减小到零,感应电动势E=ld=ld回路中感应电流I=保证灯不烧坏,电流的最大值为Imax=,由上式可知,电流最大对应时间最小,由解得最短时间tmin=。8.答案(1) (2)①P点的电势高 ②BIbv0 ③BIbvd+I2解析(1)海水以v0速度切割磁感线,产生感应电动势Bbv0=IR海水的电阻满足R=ρ联立解得I=(2)①使磁流体推进船沿着负y轴方向运动,由于反冲运动,海水受到的安培力沿着正y轴方向,由左手定则得电流由P指向Q点,P点的电势高。②受到的安培力为F安=BIb推进器对海水推力的功率P=F安v0联立解得P=BIbv0。③在通道内海水的速率增加到vd,受到的安培力为F安=BIb推进器对海水推力的功率P1=F安vd=BIbvd电阻消耗的热功率为P热=I2R,R=ρ磁流体推进器消耗的功率为P'=P热+P1-21-\n联立解得P'=BIbvd+I2。9.答案(1)d到c (2) (3)v0-(4)Mg-解析(1)由右手定则可得cd棒上的电流方向为d到c。(2)当cd棒受到的安培力等于物体重力时,物体开始离开地面,因为ab棒一开始运动时cd棒保持静止,所以此情况一定出现在ab棒离开磁场后的时间内,E==kL2安培力F=BtL=ktL,解得F=t刚要离开地面时Mg=t,解得t=(3)设某一微小时间内,由动量定理可得viΔt=mΔvi,即xi=mΔvi两边累积可得=mΔv解得Δv=,所以v=v0-(4)设这一过程中ab棒在任意位置的速度为v',任意位移的安培力为F',由第(3)问的方法容易可得v'=v0-FN=Mg-F',F'=v'FN=Mg-(v0-)10.答案(1)0.4A (2)10.8N (3)54∶49解析(1)线圈切割磁感线,有E1=NBv=0.4V-21-\nI1==0.4A。(2)线圈匀速运动,在将要全部进入磁场前,右边导线所受向左的总安培力F1=NBI1=0.4N上边导线所受向下的总安培力F2=NBI1L=0.8N滑动摩擦力Ff=μ(mg+F2)=10.4N故拉力F=F1+Ff=10.8N。(3)在t=1s后瞬间线圈在磁场中运动时,E2=N=0.2V线圈中形成顺时针电流I2==0.2A线圈上边受到向上的安培力F3=NBI2L=0.4N此时拉力等于滑动摩擦力,即F'=μ(mg-F3)=9.8N所以拉力的最大值与最小值之比为54∶49。11.答案(1)5m/s (2)106.25m (3)4个解析(1)假设电磁铁的磁感应强度达到最大时,模型车的速度为v1则E1=B1L1v1①I1=②F1=B1I1L1③F1=m1a1④由①②③④式并代入数据得v1=5m/s⑤(2)x1=⑥由第(1)问的方法同理得到磁感应强度达到最大以后任意速度v2时,安培力的大小为F=⑦对速度v1后模型车的减速过程用动量定理得·t=m1v1⑧·t=x2⑨x=x1+x2⑩由⑥⑦⑧⑨⑩并代入数据得x=106.25m(3)假设需要n个永磁铁,当模型车的速度为v3时,每个线圈中产生的感应电动势为E2=2NB2L1v3-21-\n每个线圈中的感应电流为I2=,每个磁铁受到的阻力为F2=2NB2I2L1n个磁铁受到的阻力为F合=2nNB2I2L1由第(2)问同理可得nx3=m2v代入已知得n≈3.47即至少需要4个永磁铁。12.答案(1)0.4V (2)0.02N (3)t0max=6s(4)见解析解析(1)读题图(2)可知T/s=0.8T/s感应电动势为E=Ld=0.8×1×0.5V=0.4V(2)感应电流为I=A=0.2At=0时刻,金属棒所受的安培力大小为F安0=B0Id=0.2×0.2×0.5N=0.02N。(3)金属棒对木桩的压力为零,最大静摩擦力沿斜面向下,此时沿倾斜导轨方向上合外力为零。F安=B(t)Id=(0.2+0.8t0max)×0.2×0.5N=(0.02+0.08t0max)N。又FN=mgcos37°=0.05×10×0.8N=0.4NFf=μFN=0.5×0.4N=0.2N,即最大静摩擦力。由F安=mgsin37°+Ff代入相关数据后,得t0max=6s。(4)一开始,木桩对金属棒有支持力,金属棒对导轨无相对运动趋势,即Ff静=0。随着安培力F安的增大,木桩对金属棒的弹力减小,直至弹力为零。满足F安=B(t)Id=mgsin37°,代入数据,(0.2+0.8t')×0.2×0.5=0.05×10×0.6,得t'=3.5s。-21-\nF安继续增大,Ff静从零开始增大,F安=B(t)Id=(0.2+0.8t)×0.2×0.5=mgsin37°+Ff静,所以Ff随t线形增大至Ff=0.2N(此时t0max=6s)。画出图象如图。13.答案(1) (2)(3)mgs-解析(1)金属棒先做加速度逐渐减小的加速运动,当加速度为零时,金属棒达到最大速度,此后开始做匀速直线运动。则速度达到最大时有E=BLvmI=F=BIL+mgsinθ又F=2mg解得vm=。(2)PL=I2R解得PL=。(3)设整个电路产生的热量为Q,由功能关系有F·2s=Q+mgsinθ·2s+由题意可知Q1=解得Q1=mgs-。-21-
