课时规范练14 导数的概念及运算一、基础巩固组1.已知函数f(x)=3x+1,则limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx的值为( )A.-13B.13C.23D.02.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+lnx,则f'(1)等于( )A.-eB.-1C.1D.e3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是( )A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=04.(2022江西上饶模拟)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为( )A.1B.2C.22D.35.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-36.若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1B.0C.1D.27.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x38.(2022江西南昌联考)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是( )A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3〚导学号21500714〛4\n9.(2022吉林长春二模)若函数f(x)=lnxx,则f'(2)= . 10.(2022山西太原模拟)函数f(x)=xex的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 . 11.若函数f(x)=lnx-f'(-1)x2+3x-4,则f'(1)= . 12.若函数f(x)=12x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 . 二、综合提升组13.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=014.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=( )A.13B.-23C.73D.-13或53〚导学号21500715〛15.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 三、创新应用组16.(2022河南郑州三模)已知f'(x)=2x+m,且f(0)=0,函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列1f(n)的前n项和为Sn,则S2017的值为( )A.20172018B.20142015C.20152016D.2016201717.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于( )A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或74\n课时规范练14 导数的概念及运算1.A ∵f'(x)=13x-23,∴limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx=-limΔx→0f(1-Δx)-f(1)-Δx=-f'(1)=-13×1-23=-13.2.B ∵f'(x)=2f'(1)+1x,∴f'(1)=2f'(1)+1,∴f'(1)=-1.故选B.3.B 由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).因为f'(x)=-2x+1,所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.B 因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-1x,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=22=2.故所求的最小值为2.5.B 因为f(x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f'(x)=3x2+2ax+(a-3).又f'(x)为偶函数,所以a=0,所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3.所以f'(0)=-3.故所求的切线方程为y=-3x.6.C 依题意得f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin0=2×0+b,则b=0,又m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1,故选C.7.A 设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.A项,f'(x)=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有T性质;B项,f'(x)=1x(x>0),显然k1·k2=1x1·1x2=-1无解,故该函数不具有T性质;C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex1·ex2=-1无解,故该函数不具有T性质;D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x12×3x22=-1无解,故该函数不具有T性质.综上,选A.8.C 令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,∴f'(x)=4x-1,∴f(1)=1,f'(1)=3,∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.9.1-ln24 由f'(x)=1-lnxx2,得f'(2)=1-ln24.10.y=2ex-e ∵f(x)=xex,∴f(1)=e,f'(x)=ex+xex,∴f'(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.11.8 ∵f'(x)=1x-2f'(-1)x+3,∴f'(-1)=-1+2f'(-1)+3,解得f'(-1)=-2,∴f'(1)=1+4+3=8.12.[2,+∞) ∵f(x)=12x2-ax+lnx,∴f'(x)=x-a+1x.∵f(x)的图象存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+1x-a=0有解,∴a=x+1x≥2(x>0).13.B 设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象相切于点(x0,y0),4\n则kx0-1=y0,x0lnx0=y0,lnx0+1=k,解得x0=1,y0=0,k=1.∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.14.D ∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,∴f'(x)的图象开口向上,故②④排除.若f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若f'(x)的图象为③,则a2-1=0.又对称轴x=-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-13.15.1-ln2 对函数y=lnx+2求导,得y'=1x,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=1x+1.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=1x1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12,x2=-12.所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.16.A f'(x)=2x+m,可设f(x)=x2+mx+c,由f(0)=0,可得c=0.所以函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为2+m=3,解得m=1,即f(x)=x2+x,则1f(n)=1n2+n=1n-1n+1.所以S2017=1-12+12-13+…+12017-12018=1-12018=20172018.17.A 因为y=x3,所以y'=3x2,设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切可得a=-2564.当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.4
