课时规范练15 导数与函数的小综合一、基础巩固组1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)2.(2022山东烟台一模)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>0,b>0,c>0,d<0B.a>0,b>0,c<0,d<0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d>03.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=( )A.0B.2C.-4D.-24.已知f(x)是定义在R上的偶函数,其导函数为f'(x),若f'(x)<f(x),且f(x+1)=f(3-x),f(2019)=2,则不等式f(x)<2ex-1的解集为( )A.(1,+∞)B.(e,+∞)C.(-∞,0)D.-∞,1e5.(2022辽宁大连一模)函数f(x)=exx的图象大致为( )6.(2022河南濮阳一模)设f'(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足xf'(x)+2f(x)=1x2,则下列不等式一定成立的是( )A.f(e)e2>f(e2)eB.f(2)9<f(3)4C.f(2)e2>f(e)4D.f(e)e2<f(3)9〚导学号21500522〛7.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0)B.0,12C.(0,1)D.(0,+∞)8.已知函数f(x)=-12x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是 . 5\n9.(2022河北保定二模,理16)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2015x)=2017,设a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是 . 10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 . 11.(2022山东泰安一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g'(x)为g(x)的导函数,对∀x∈R,总有g'(x)>2x,则g(x)<x2+4的解集为 . 二、综合提升组12.(2022广西南宁一模,理12)已知函数f(x)=-x2-6x-3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,m<-2,若∀x1∈[m,-2),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则m的最小值为( )A.-5B.-4C.-25D.-313.定义在(0,+∞)内的函数f(x)满足f(x)>0,且对∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,其中f'(x)为f(x)的导函数,则( )A.116<f(1)f(2)<18B.18<f(1)f(2)<14C.14<f(1)f(2)<13D.13<f(1)f(2)<12〚导学号21500523〛14.(2022江西宜春二模,理16)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,0)中心对称,其导函数为f'(x),当x<1时,(x-1)[f(x)+(x-1)f'(x)]>0,则不等式xf(x+1)>f(2)的解集为 . 三、创新应用组15.(2022安徽淮南一模)如果定义在R上的函数f(x)满足:对于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则称f(x)为“H函数”.给出下列函数:①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sinx-cosx);③y=1-ex;④f(x)=lnx(x≥1),0(x<1).其中“H函数”的个数为( )A.3B.2C.1D.0〚导学号21500524〛16.(2022安徽合肥一模)已知函数f(x)=-x3+3x2-ax-2a,若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,则a的取值范围是 . 5\n课时规范练15 导数与函数的小综合1.D 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.C 由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;f'(x)=3ax2+2bx+c,且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.3.B 因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'(x)=3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系可知m+n=-(-6)3=2.4.A ∵函数f(x)是偶函数,∴f(x+1)=f(3-x)=f(x-3),∴f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.∵f(2019)=f(-1)=f(1),∴f(1)=2.设g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)ex-f(x)exe2x=f'(x)-f(x)ex<0,故函数g(x)是R上的减函数.∵不等式f(x)<2ex-1等价于f(x)ex<2e,即g(x)<g(1),∴x>1,即不等式f(x)<2ex-1的解集为(1,+∞),故选A.5.B 函数f(x)=exx的定义域为x≠0,x∈R,当x>0时,函数f'(x)=xex-exx2,可得函数的极值点为x=1,当x∈(0,1)时,函数是减函数,当x>1时,函数是增函数,并且f(x)>0,选项B,D满足题意.当x<0时,函数f(x)=exx<0,选项D不正确,选项B正确.6.B ∵xf'(x)+2f(x)=1x2,∴x2f'(x)+2xf(x)=1x,令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=1x>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增.∴g(2)=4f(2)<g(e)=e2f(e)<g(3)=9f(3),∴f(2)9<f(3)4.故选B.7.B ∵f(x)=x(lnx-ax),∴f'(x)=lnx-2ax+1,由题意可知f'(x)在(0,+∞)内有两个不同的零点,令f'(x)=0,得2a=lnx+1x,设g(x)=lnx+1x,则g'(x)=-lnxx2,∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.∵当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,而g(x)max=g(1)=1,∴只需0<2a<1,即0<a<12.8.(0,1)∪(2,3) 由题意知f'(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x.由f'(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<1<t+1或t<3<t+1,得0<t<1或2<t<3.9.a>c>b ∵方程f'(x)=0无解,∴f'(x)>0或f'(x)<0恒成立,∴f(x)是单调函数;由题意得∀x∈(0,+∞),f(f(x)-log2015x)=2017,且f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数,则f(x)-log2015x是定值.设t=f(x)-log2015x,则f(x)=t+log2015x,∴f(x)是增函数.又0<log43<logπ3<1<20.5,∴a>c>b.故答案为a>c>b.10.(-∞,-1)∪(0,1) 当x>0时,令F(x)=f(x)x,则F'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,∴当x>0时,F(x)=f(x)x为减函数.∵f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.5\n在区间(0,1)内,F(x)>0;在(1,+∞)内,F(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).11.(-∞,-1) ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)的图象过原点.∵g(x)=f(x+1)+5,∴g(x)的图象过点(-1,5).令h(x)=g(x)-x2-4,∴h'(x)=g'(x)-2x.∵对∀x∈R,总有g'(x)>2x,∴h(x)在R上是增函数,又h(-1)=g(-1)-1-4=0,∴g(x)<x2+4的解集为(-∞,-1).12.A ∵g(x)=2x3+3x2-12x+9,∴g'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)·(x-1),则当0<x<1时,g'(x)<0,函数g(x)递减,当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)递增,∴当x>0时,g(x)min=g(1)=2.∵f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6,作函数y=f(x)的图象,如图所示,当f(x)=2时,方程的两根分别为-5和-1,则m的最小值为-5,故选A.13.B 令g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x3.∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴0<xf'(x)-2f(x)x3,∴g'(x)>0,∴函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(1)1<f(2)4,又f(x)>0,∴f(1)f(2)<14.令h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),则h'(x)=xf'(x)-3f(x)x4.∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf'(x)<3f(x)恒成立,∴h'(x)=xf'(x)-3f(x)x4<0,∴函数h(x)在(0,+∞)内单调递减,∴f(1)1>f(2)8.又f(x)>0,∴18<f(1)f(2).综上可得18<f(1)f(2)<14,故选B.14.(-∞,-1)∪(1,+∞) 设g(x)=(x-1)f(x),当x<1时,x-1<0,∴g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)<0,则g(x)在(-∞,1)内单调递减.5\n∵f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,则f(x+1)是奇函数,令h(x)=g(x+1)=xf(x+1),∴h(x)为R上的偶函数,且在(-∞,0)内单调递减,∴在(0,+∞)内单调递增.∵h(1)=f(2),∴xf(x+1)>f(2)⇔h(x)>h(1),即|x|>1,解得x>1或x<-1.15.B 根据题意,对于x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),则有f(x1)(x1-x2)-f(x2)(x1-x2)≥0,即[f(x1)-f(x2)](x1-x2)≥0,分析可得,若函数f(x)为“H函数”,则函数f(x)为增函数或常数函数.对于①,y=-x3+x+1,有y'=-3x2+1,不是增函数也不是常数函数,则其不是“H函数”;对于②,y=3x-2(sinx-cosx),有y'=3-2(sinx+cosx)=3-22sinx+π4,易知y'>0,y=3x-2(sinx-cosx)为增函数,则其是“H函数”;对于③,y=1-ex=-ex+1,是减函数,则其不是“H函数”;对于④,f(x)=lnx(x≥1),0(x<1),当x<1时,f(x)是常数函数,当x≥1时,f(x)是增函数,则其是“H函数”.故“H函数”有2个,故选B.16.23,1 由题意设g(x)=-x3+3x2,h(x)=a(x+2),则g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),所以g(x)在(-∞,0),(2,+∞)内递减,在(0,2)内递增,且g(0)=g(3)=0,g(2)=-23+3×22=4.在同一个坐标系中画出两个函数图象如图所示.因为存在唯一的正整数x0,使得f(x0)>0,即g(x0)>h(x0),所以由图得x0=2,则a>0,g(2)>h(2),g(1)≤h(1),即a>0,4>4a,-1+3≤3a,解得23≤a<1,所以a的取值范围是23,1,故答案为23,1.5
