课时规范练59 古典概型与几何概型一、基础巩固组1.(2022山西晋中模拟)5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25C.34D.232.10张奖券中只有3张有奖,5人购买,每人1张,至少有1人中奖的概率是( )A.310B.112C.12D.11123.向等腰直角三角形ABC(其中AC=BC)内任意投一点M,则AM小于AC的概率为( )A.22B.1-22C.π8D.π44.如图,阴影部分由曲线f(x)=sinπ2x(0≤x≤2)与以点(1,0)为圆心,1为半径的半圆围成,现向半圆内随机投掷一点,恰好落在阴影部分内的概率为( )A.4π-1B.8π2C.1-4πD.1-8π2〚导学号21500592〛5.某同学有6本工具书,其中语文1本、英语2本、数学3本,现在他把这6本书放到书架上排成一排,则同学科工具书都排在一起的概率是( )A.130B.115C.110D.156.(2022河南洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为( )A.115B.15C.14D.127.(2022福建龙岩一模)在区间[0,π]上随机取一个x,则y=sinx的值在0到12之间的概率为( )A.16B.13C.12D.2π8.(2022河南郑州模拟)某校有包括甲、乙两人在内的5名大学生自愿参加该校举行的A,B两场国际学术交流会的服务工作,这5名大学生中有2名被分配到A场交流会,另外3名被分配到B场交流会,如果分配方式是随机的,那么甲、乙两人被分配到同一场交流会的概率为 . 9.(2022江苏,7)记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 . 10.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同,从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为 . 二、综合提升组11.(2022甘肃兰州质检)将5本不同的书全发给4名同学,每名同学至少有一本书的概率是( )A.1564B.15128C.24125D.4812512.设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )4\nA.34+12πB.12+1πC.14-12πD.12-1π13.某酒厂制作了3种不同的精美卡片,每瓶酒盒随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖,现购买该种酒5瓶,能获奖的概率为( )A.3181B.3381C.4881D.5081〚导学号21500593〛14.(2022福建福州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足∠AMB>90°的概率为 . 15.(2022辽宁鞍山一模,理14)现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作,每项工作需要2人,则甲、乙二人必须做同一项工作,而丙、丁二人不能做同一项工作的概率为 . 16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .〚导学号21500594〛 三、创新应用组17.(2022河南郑州、平顶山、濮阳二模,理6)在区间[1,e]上任取实数a,在区间[0,2]上任取实数b,使函数f(x)=ax2+x+14b有两个相异零点的概率是( )A.12(e-1)B.14(e-1)C.18(e-1)D.116(e-1)〚导学号21500595〛18.(2022宁夏银川一中二模)已知实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为 . 课时规范练59 古典概型与几何概型1.A 基本事件总数为C52=10,2张卡片上数字之和为奇数,共有C31C21=6,所求概率为610=35,故选A.2.D 无人中奖的概率为C75C105=112,则至少有1人中奖的概率为1-112=1112.故选D.4\n3.D 以A为圆心,AC为半径画弧,与AB交于点D.依题意,所求概率P=S扇形ACDS△ABC=18π·AC212AC2=π4.4.D 阴影部分的面积S=12π-02sinπ2xdx=π2+2πcosπ2x02=π2+2π×(-1-1)=π2-4π,则所求概率P=π2-4ππ2=1-8π2,故选D.5.C 把这6本书放到书架上排成一排,共有A66=720种排法,把2本英语捆绑在一起,把3本数学捆绑在一起,和1本语文全排列,共有A22A33A33=72种排法,则同学科工具书都排在一起的概率是72720=110,故选C.6.B 由题意分析可得甲连续三天参加活动的所有情况为:第1~3天,第2~4天,第3~5天,第4~6天,共4种,故所求概率P=4·A33C63·A33=15.7.B 在区间[0,π]上,y=sinx的值在0到12之间,则x∈0,π6∪5π6,π,区间长度为π3,所求概率为π3π-0=13,故选B.8.25 将5名大学生随机分配到A,B两场交流会的所有基本事件有C52=10个,甲、乙两人被分配到同一场交流会包含的基本事件的个数为1+C31=4,故所求概率为410=25.9.59 由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.10.4891 P=C62C51C41+C61C52C41+C61C51C42C154=4891.11.A 将5本不同的书分给4名同学,共有45=1024种分法,其中每名同学至少一本的分法有C52A44=240种,则所求概率为2401024=1564,故选A.12.C 由|z|≤1,得(x-1)2+y2≤1.不等式表示以C(1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y≥x表示直线y=x左上方部分(如图所示).则阴影部分面积S阴=14π×12-S△OAC=14π-12×1×1=π4-12.故所求事件的概率为S阴S圆=π4-12π×12=14-12π.13.D 假设5个酒盒各不相同,5个酒盒装入卡片的方法一共有35=243种,其中包含了3种不同卡片有两种情况:即一样的卡片3张,另外两种不同的卡片各1张,有C53×2×3=60种方法,两种不同的卡片各2张,另外一种卡片1张,有C51×3×C42=15×6=90种,故所求的概率为90+60243=5081.14.π8 4\n如图,如果点M位于以AB为直径的半圆内部,则∠AMB>90°,否则,点M位于半圆上及空白部分,则∠AMB≤90°,所以∠AMB>90°的概率P=12×π×1222=π8.15.215 把6个人分成3组,每组两人,共有C62C42A33=15种分法,将3组分配给3项工作,有A33=6种情况,所有基本事件总数为15×6=90.把6个人分成3组,每组两人,由条件可知,与丙结组的方法有两种,剩下那人只能与丁结组,将3组分配给3项工作,有A33=6种情况,所以不同的安排方案有2×6=12种,则所求概率为1290=215,故答案为215.16.78 以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示张先生离家时间,建立平面直角坐标系,因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,即所求事件A发生,所以P(A)=1×1-12×12×121×1=78.17.A 设事件A= 使函数f(x)=ax2+x+14b有两个相异零点 ,方程ax2+x+14b=0有两个相异实根,即Δ=1-ab>0,即ab<1,所有的试验结果Ω={(a,b)|1≤a≤e,且0≤b≤2},对应区域面积为2(e-1);事件A={(a,b)|ab<1,1≤a≤e,且0≤b≤2},对应区域面积S=e11ada=1,则事件A的概率P(A)=12(e-1).故选A.18.516 对y=13ax3+ax2+b求导数可得y'=ax2+2ax,令ax2+2ax=0,可得x=0或x=-2,0<a<1,x=-2是极大值点,x=0是极小值点,函数y=13ax3+ax2+b,有三个零点,可得f(-2)>0,f(0)<0,即4a+3b>0,b>0.画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,为长方形区域,所以长方形的面积为2,深色区域的面积为12×1+14=58,∴所求概率为P=582=516,故答案为516.4
