课时规范练48 椭圆一、基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为( )A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=12.(2022河南洛阳三模,理2)已知集合M=xx29+y24=1,N=yx3+y2=1,M∩N=( )A.⌀B.{(3,0),(0,2)}C.[-2,2]D.[-3,3]3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为( )A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=14.(2022安徽黄山二模,理4)在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条 件方 程①△ABC周长为10C1:y2=25②△ABC面积为10C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中,∠A=90°C3:x29+y25=1(y≠0)则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为( )A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2〚导学号21500759〛5.(2022广东、江西、福建十校联考)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.55,1B.22,1C.0,55D.0,226.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 . 7.(2022湖北八校联考)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为 . 8.(2022河北衡水中学三调,理20)如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右顶点为A,B,左、右焦点为F1,F2,|AB|=4,|F1F2|=23.直线y=kx+m(k>0)交椭圆E于C,D两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合),且|CM|=|DN|.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.6\n〚导学号21500760〛二、综合提升组9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )A.3B.6C.9D.1210.(2022河南郑州三模,理10)椭圆x25+y24=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是( )A.55B.655C.855D.45511.(2022安徽安庆二模,理15)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴的端点P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-14,则点P到直线QM的距离为 .〚导学号21500761〛 12.(2022湖南邵阳一模,理20)如图所示,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为其左,右焦点,点P是椭圆C上一点,PO⊥F2M,且F1M=λMP.(1)当a=22,b=2,且PF2⊥F1F2时,求λ的值;(2)若λ=2,试求椭圆C离心率e的范围.三、创新应用组13.(2022河南南阳、信阳等六市一模,理16)椭圆C:x24+y23=1的上、下顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1斜率的取值范围是 . 14.(2022北京东城区二模,理19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为23,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E,证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.〚导学号21500762〛课时规范练48 椭圆6\n1.A 由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为x2169+y2144=1.2.D 集合M=xx29+y24=1=[-3,3],N=yx3+y2=1=R,则M∩N=[-3,3],故选D.3.A 由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=43,即a=3,又由e=ca=33,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为x23+y22=1,故选A.4.A ①△ABC的周长为10,即AB+AC+BC=10.∵BC=4,∴AB+AC=6>BC,故动点A的轨迹为椭圆,与C3对应;②△ABC的面积为10,∴12BC·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;③∵∠A=90°,∴AB·AC=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.5.B ∵F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点,∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理,得x2=(2c2-a2)·a2c2≥0,解得e≥22,又0<e<1,∴22≤e<1.故选B.6.x225+y216=1 设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为x225+y216=1.7.513 由题意知a=3,b=5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2||PF1|=513.8.解(1)因为2a=4,2c=23,所以a=2,c=3,所以b=1.所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)直线y=kx+m(k>0)与椭圆联立,可得(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0.设D(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-8mk4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,又M-mk,0,N(0,m),由|CM|=|DN|得x1+x2=xM+xN,所以-8mk4k2+1=-mk,所以k=12(k>0).所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以-3≤-2m≤3且m≠0,6\n所以k1k22=y1(x2-2)y2(x1+2)2=(2-x1)(2-x2)(2+x2)(2+x1)=4-2(x1+x2)+x1x24+2(x1+x2)+x1x2=4-2·(-2m)+2m2-24+2·(-2m)+2m2-2=(m+1)2(m-1)2,所以k1k2=1+m1-m=-1-2m-1.又因为k1k2=-1-2m-1在-32,0∪0,32上单调递增,所以7-43=1-321+32≤1+m1-m≤1+321-32=7+43,且1+m1-m≠1,即7-43≤k1k2≤7+43,且k1k2≠1,所以k1k2∈[7-43,1)∪(1,7+43].9.B ∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则c=2.∵ca=12,∴a=4.∴b2=a2-c2=12.于是椭圆方程为x216+y212=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.10.C 设右焦点为F',连接MF',NF',△FMN的周长=|FM|+|FN|+|MN|≤|FM|+|FN|+|MF'|+|NF'|=4a=45.∵|MF'|+|NF'|≥|MN|,∴当直线x=a过右焦点时,△FMN的周长最大.把c=1代入椭圆标准方程可得15+y24=1,解得y=±455.∴此时△FMN的面积S=12×2×2×455=855.故选C.11.45b5 根据题意可得P(0,b),Q(0,-b),设A(x,y),B(-x,-y),由直线PA,PB的斜率之积为-14,则kPA·kPB=y-bx·-y-b-x=y2-b2x2=-14,由点A在椭圆上可得x2a2+y2b2=1,则y2-b2x2=-b2a2,∴b2a2=14,即a=2b.△PMQ的面积S=12·|PQ|·|OM|=12×2b·a=2b2,设点P到直线MQ的距离为d,则S=12·|MQ|·d=12×a2+b2·d=52b·d=2b2,6\n解得d=455b,∴点P到直线QM的距离为45b5.12.解(1)当a=22,b=2时,椭圆C为x28+y24=1,F1(-2,0),F2(2,0),∵PF2⊥F1F2,∴P(2,2)或P(2,-2),当P(2,2)时,kOP=22,kF2M=-2,kF1M=24,直线F2M:y=-2(x-2),①直线F1M:y=24(x+2),②联立①②解得xM=65,∴λ=xM-xF1xP-xM=4.同理可得当P(2,-2)时,λ=4.综上所述,λ=4.(2)设P(x0,y0),M(xM,yM).∵F1M=2MP,∴F1M=23(x0+c,y0)=(xM+c,yM),∴M23x0-13c,23y0,F2M=23x0-43c,23y0.∵PO⊥F2M,OP=(x0,y0),∴23x0-43cx0+23y02=0,即x02+y02=2cx0.③又x02a2+y02b2=1,④联立③④解得x0=a+cc(舍去)或x0=a(a-c)c(∵x0∈(-a,a)),∴x0=a(a-c)c∈(0,a),即0<a2-ac<ac.∴e>12.又0<e<1,∴e∈12,1.13.38,34 由椭圆的标准方程可知,上、下顶点分别为A1(0,3),A2(0,-3),设点P(a,b)(a≠±2),则a24+b23=1,即b2-3a2=-34.直线PA2斜率k2=b+3a,直线PA1斜率k1=b-3a.∵k1k2=b+3a·b-3a=b2-3a2=-34,∴k1=-34k2.∵直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],即-2≤k2≤-1,∴直线PA1斜率的取值范围是38,34.14.(1)解由题意得b=3,c=1,解得a=2.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”.设直线AM的方程为y=k(x+2)(k≠0),则N(2,4k),E(2,2k).设点M(x0,y0),由y=k(x+2),x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,得x0=-8k2+63+4k2,y0=12k3+4k2,①当MF⊥x轴时,x0=1,此时k=±12.6\n所以M1,±32,N(2,±2),E(2,±1).此时,点E在∠MFB的角平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1,即EF平分∠MFB.②当k≠±12时,直线MF的斜率为kMF=y0x0-1=4k1-4k2,所以直线MF的方程为4kx+(4k2-1)y-4k=0.所以点E到直线MF的距离d=|8k+2k(4k2-1)-4k|16k2+(4k2-1)2=|4k+2k(4k2-1)|(4k2+1)2=|2k(4k2+1)||4k2+1|=|2k|=|BE|,即点B关于直线EF的对称点在直线MF上.6
