课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用 基础巩固组1.(2020河北保定一模,文4,理4)已知a与b均为单位向量,若b⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°2.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2020全国2,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b4.(2020湖南郴州二模,文7)已知向量a=(2,-3),b=(3,m),且a⊥b,则向量a在a+b方向上的投影为( )A.262B.-262C.13D.-135.在△ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x>0),则当BC最小时,C=( )A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2020河北邢台模拟,理3)设非零向量a,b满足|a|=3|b|,cos<a,b>=13,a·(a-b)=16,则|b|=( )A.2B.3C.2D.57.(2020辽宁大连模拟,文9)已知扇形OAB的半径为2,圆心角为2π3,点C是弧AB的中点,OD=-12OB,则CD·AB的值为( )A.3B.4C.-3D.-48.已知平面向量OA,OB满足|OA|=|OB|=1,OA·OB=0,且OD=12DA,E为△OAB的外心,则ED·OB=( )A.-12B.-16C.16D.129.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 10.(2020湖南长郡中学四模,理13)已知向量a=(1,2),b=(k,1),且2a+b与向量a的夹角为90°,则向量a在向量b方向上的投影为 . 11.(2020山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值;(2)设α=π4,且a⊥(b+c),求cosβ的值.\n综合提升组12.(2020皖豫名校联考,理10)在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AC=23,BM+12CB=0,DC=λDN,若AM·AN=29,则λ=( )A.18B.17C.16D.1513.(2020陕西西安中学八模,理7)如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是( )A.P1P2·P1P3B.P1P2·P1P4C.P1P2·P1P5D.P1P2·P1P614.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则AE·EC=( )A.725B.14425C.125D.122515.(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是 . 16.已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.\n创新应用组17.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AO·AB=32,则实数m=( )A.±1B.±32C.±22D.±12参考答案课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用1.D ∵b⊥(2a+b),∴b·2a+|b|2=0.又|a|=|b|=1,∴a·b=-12,∴cos<a,b>=a·b|a||b|=-12,∴a与b的夹角为120°.故选D.2.C ∵A,B,C三点不共线,∴|AB+AC|>|BC|⇔|AB+AC|>|AB-AC|⇔|AB+AC|2>|AB-AC|2⇔AB·AC>0⇔AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充要条件,故选C.3.D 由题意可知,a·b=|a||b|cos60°=12.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=52≠0,不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-32≠0,不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.4.A 因为a⊥b,所以a·b=6-3m=0,解得m=2,所以b=(3,2),a=(2,-3),a+b=(5,-1),则a·(a+b)=13,|a+b|=26,所以a在a+b方向上的投影为a·(a+b)|a+b|=1326=262.故选A.5.A 由题意BC=AC-AB=(-x-1,2x-2),∴|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.令y=5x2-6x+5,x>0,当x=35,ymin=165,此时BC最小,\n∴CA=35,-65,CB=85,45,CA·CB=35×85-65×45=0,∴CA⊥CB,即C=90°.故选A.6.A ∵|a|=3|b|,cos<a,b>=13,∴a·(a-b)=a2-a·b=9|b|2-|b|2=8|b|2=16,∴|b|=2.故选A.7.C 如图,连接CO,∵点C是弧AB的中点,∴CO⊥AB,∴OC·AB=0,又OA=OB=2,OD=-12OB,∠AOB=2π3,∴CD·AB=(OD-OC)·AB=-12OB·AB=-12OB·(OB-OA)=12OA·OB-12OB2=12×2×2×-12-12×4=-3.8.A ∵OA·OB=0,∴OA⊥OB,又|OA|=|OB|=1,∴△OAB为等腰直角三角形.∵E为△OAB的外心,∴E为AB中点,∴|OE|=12|AB|=22且∠BOE=45°.∵OD=12DA,∴OD=13OA,∴ED·OB=(OD-OE)·OB=13OA·OB-OE·OB=-|OE||OB|cos∠BOE=-22×22=-12.9.3 ∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-12,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.10.-214529 因为向量a=(1,2),b=(k,1),则2a+b=(2+k,5),又因为2a+b与向量a的夹角为90°,所以(2a+b)·a=0,即2+k+10=0,解得k=-12,即b=(-12,1),所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=a·b|b|=-10145=-214529.11.解(1)b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).因为-1≤cosβ≤1,所以0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cosβ=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若α=π4,则a=22,22.又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)得a·(b+c)=22,22·(cosβ-1,sinβ)=22cosβ+22sinβ-22.\n因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1,所以sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cosβ=1.经检验cosβ=0或cosβ=1即为所求.12.D 作出图形,建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y).因为AC=23,∠ABC=120°,故BO=1,因为BM+12CB=0,所以BM=12BC,即M为BC的中点.所以A(-3,0),M32,12,D(0,-1),C(3,0),则AM=332,12,DC=(3,1)=λDN=λ(x,y+1),由题可知λ≠0,故N3λ,1λ-1,AN=3λ+3,1λ-1,所以AM·AN=5λ+4=29,解得λ=15.13.A 设边长|P1P2|=a,易知∠P2P1P3=π6,|P1P3|=3a,则P1P2·P1P3=a·3a·cosπ6=3a22;易知∠P2P1P4=π3,|P1P4|=2a,则P1P2·P1P4=a·2a·cosπ3=a2;易知P1P2·P1P5=0,P1P2·P1P6<0.所以数量积中最大的是P1P2·P1P3.故选A.14.B 如图,由AB=3,AD=4得BD=9+16=5,AE=AB·ADBD=125.又AE·EC=AE·(EO+OC)=AE·EO+AE·OC=AE·EO+AE·AO.∵AE⊥BD,∴AE·EO=0.又AE·AO=|AE||AO|cos∠EAO=|AE||AO|·|AE||AO| =|AE|2=14425,∴AE·EC=14425.故选B.15.2829 |2e1-e2|≤2⇔(2e1-e2)2≤2,解得e1·e2≥34.又e1·e2≤1,所以34≤e1·e2≤1.cosθ=a·b|a||b|=(e1+e2)(3e1+e2)(e1+e2)2×(3e1+e2)2=4+4e1·e22+2e1·e2×10+6e1·e2,设e1·e2=x,则34≤x≤1.cos2θ=16(x+1)2(2+2x)(10+6x)=16(x+1)212x2+32x+20=4(x+1)23x2+8x+5=4(x+1)23(x+1)2+2(x+1)=43+2x+1,得cos2θ∈2829,1,\n所以cos2θ的最小值是2829.16.解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.则tanx=-33.又因为x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+π6.因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,从而-1≤cosx+π6≤32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-23.17.C 联立y=x+m,x2+y2=1,消去y可得2x2+2mx+m2-1=0.由题意知Δ=-2m2+8>0,解得-2<x<2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,∴AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1),∵AO·AB=32,∴AO·AB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=±22.故选C.18.16 132 ∵AD=λBC,∴AD·AB=λBC·AB=λ|BC||AB|·cos120°=λ×6×3×-12=-32,∴λ=16.令BM=μBC0<μ≤56,则BN=BM+MN=μBC+16BC=μ+16BC,DM=DA+AB+BM=-16BC+AB+μBC=μ-16BC-BA,DN=DA+AB+BN=-16BC+AB+μ+16BC=μBC-BA.DM·DN=μ-16BC-BA·(μBC-BA)=μμ-16|BC|2-μ+μ-16BA·BC+|BA|2=36μ2-16μ-2μ-16×9+9=36μ2-6μ-18μ+212=36μ2-24μ+212=36μ-132+132.又∵0<μ≤56,∴当μ=13时取最小值132.
