课本精析一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，如：（1）设集合，集合N＝，则___（答：（2）集合，集合（答：）2、条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况如：（1）若非空集合，，则使得成立的a的集合是____________________（答：）（2）集合M=N=若，则实数a的取值范围为___________（条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况） （答：）（3），如果，求的取值。（答：a≤0）3、;CUA={x|x∈U但xA};;真子集怎定义？如：含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如：满足集合M有______个。 （答：7）4、CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB;5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：（1）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是_______（答：）（2）已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。 （答：）7、原命题:;逆命题:;否命题:；逆否命题:；互为逆否的两个命题是等价的.如：（1）“”是“”的条件。（答：充分非必要条件）（2）设命题“已知函数，使得，命题：“35\n不等式有实数解”，若且为真命题，则实数的取值范围为_______（答：）8、若且;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;如：写出“成立”的一个必要而不充分条件___________（答：比范围大即可）9、注意命题的否定与它的否命题的区别:命题的否定是；否命题是命题“p或q”的否定是“P且Q”，“p且q”的否定是“P或Q”注意：如：命题：“若和都是偶数，则是偶数”否命题：“若和不都是偶数，则是奇数”命题的否定：“若和都是偶数，则是奇数”二、函数与导数1、指数式、对数式：，，当为奇数时，；当为偶数时，.，，，,,;;如：的值为________（答：）=（答：1）2、一次函数:y=ax+b(a≠0)b=0时奇函数;3、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(对称轴,a≠0,顶点);顶点式f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(对称轴);b=0偶函数;②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：(1)已知函数在区间上有最小值3，求的值(答:35\n)（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝（答：2）③实根分布:先画图再研究①开口、②△>0、③对称轴与区间关系、④区间端点函数值符号;4、反比例函数:平移(中心为(b,a))，对勾函数是奇函数,，5、幂、指数、对数函数的图象和性质：（1）若，，,则的大小关系为（答：）（2）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（答：1或3）（3）不等式的解集是方程的解是（答:）ONMyBAx（4）函数的图象和函数的图象的交点个数是（答：3个）（5）、幂函数y=，当a取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=，y=的图像三等分，即有BM=MN=NA．那么，ab=_______（答：1）（6）、设二元一次不等式组的图象没有经过域的取值范围（答：）6、单调性①定义法;②导数法.（1）设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.如：（1）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：))；35\n(2)函数在上为增函数，则的取值范围为_______（答：）注意①：能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。注意②：函数单调性与奇偶性的逆用吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如：已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式.如：（1）函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。（2）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是________________(答：)7、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。如：（1）若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k=（答：）（2）定义在R上的偶函数在上是减函数，若，则的取值范围是_______________（答：）（3）已知函数y=f(x),x∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）,则不等式的的解集为（答：）（4）已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是（答：）8、周期性。（1）类比“三角函数图像”得：如：已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_________个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：①函数满足，则是周期为2的周期函数；35\n②若恒成立，则；③若恒成立，则.如：(1)设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；（2）若是R上的偶函数，是R上的奇函数，则与的大小关系为_____________________（答：）（3）定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)9、常见的图象变换①函数的图象是把函数的图象沿轴向左或向右平移个单位得到的。如：（1）要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：；右)；（2）函数的图象与轴的交点个数有____个(答：2)②函数+的图象是把函数助图象沿轴向上或向下平移个单位得到的；③函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。如：（1）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：)；（2）如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是_______(答：)．④函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的.10、函数的对称性①满足条件的函数的图象关于直线对称。如：已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝_____(答：)；②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线35\n的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。如：己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是___________（答：）；若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=对称。提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如：已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形。⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。如：若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝______（答：）⑦形如的图像是双曲线，对称中心是点。如：已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）⑧（1）的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；（2）的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如：（1）作出函数及的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于____对称（答：轴）11、求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：①正比例函数型：---------------；②幂函数型：--------------，；③指数函数型：----------，；④对数函数型：---，；⑤三角函数型：-----。如：已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则__（答：0）12、反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②互为反函数的两函数具相同单调性③原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。如：已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；35\n13、题型方法总结（Ⅰ）判定相同函数:定义域相同且对应法则相同（Ⅱ）求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：）如：已知为二次函数，且，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式。（答：）（2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。如：（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_____（答：）；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如：（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是偶函数，是奇函数，且+=,则=（答：）。（Ⅲ）求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；如：（1）若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：[1,5]）．（Ⅳ）求值域:①配方法：如：求函数的值域（答：[4,8]）；②逆求法（反求法）：如：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围（答：（0,1））；③换元法：如：（1）的值域为_____（答：）；35\n（2）的值域为_____（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：的值域（答：）；⑤不等式法――利用基本不等式求函数的最值。如：设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如：求，，的值域为______（答：、、）；⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如：（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；（2）求函数的值域（答：）；⑧判别式法：如：（1）求的值域（答：）；（2）求的值域（答：）⑨导数法;分离参数法;如：求函数，的最小值。（答：－48）用2种方法求下列函数的值域：①②；③（V）解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.(VI)①恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;如：（1）若不等式对恒成立，则a的取值范围是________（答：）35\n(2)对于任意，函数的值恒大于零，那么的取值范围是（答：）（3）已知：不等式.在上恒成立，则实数的取值范围是______（答：）(4)设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是_（答;m<1）(5)已知函数f(x)=,若上恒成立，则t的取值范围是（答:）②存在性问题:，使得a≥f(x)成立a≥[f(x)]min,;，使得a≤f(x)成立a≤[f(x)]max;如：(1)设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是．(答：)（2）若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+(a－2)x－2＞0成立，则实数x的取值范围是（答：）（3）已知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式，则满足条件的所有的实数a的个数是（答：2个）（4）已知函数，，函数，．若对任意，总存在，使成立．则实数的取值范围是（答：）(VII)利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。O123xy如：（1）若，满足，则的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若，满足，则的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；（4）设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式.（答：）．14、导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。V＝s/(t)表示t时刻即时速度,a=v′(t)表示t时刻加速度。35\n如：一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）15、①常见函数的导数公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。②导数的四则运算法则：；；16、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条;如：已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：或）。⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)≥0得增区间;解不等式f/(x)≤0得减区间;注意f/(x)=0的点;如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；⑶求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.如：（1）已知函数f(x)=sinx+cosx，则=（答：0）（2）函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；）；（3）已知函数在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c有最__值__(答：大，)（4）方程的实根的个数为_（答：1）（5）若点P是曲线y=x2－lnx上任意一点，则点P到直线y=x－2的最小距离为_______（答：）（6）已知是三次函数的两个极值点，且，的取值范围是（答：）特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“35\n左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）三、数列1、an={注意验证a1是否包含在an的公式中。如：(1)数列｛an｝中,已知（答：）2、判断和证明：（1）（2）常见结论：①若{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差②若{an}、{bn}等比，则{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比；若{an}等差,则(c>0)成等比；若{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c1)等差。如：（1）若是等比数列，且，则＝（答：－1）（2）已知是等比数列，，，则=____（答：）（3）数列满足（1）求的值；（答：）（2）是否存在一个实数t，使得且数列为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由。（答:）3、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如:（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：4006）（3）设为等差数列{}的前n项和，若,则中最小的是__________(答)（4）已知为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n=______（答：19）35\n（5）等差数列{}满足，且，为{}的前n项和，则Sn中的最大项是（答：）4、基本量方法：等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn==等比数列中an=a1qn-1;当q=1,Sn=na1当q≠1,Sn==如：数列是公差不为零的等差数列，并且，，是等比数列的相邻三项，若，则等于（答：）5、利用等差（比）数列的性质：等差数列中,（1）an=am+(n－m)d,;（2）当m+n=p+q,am+an=ap+aq；若，则（3）任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列.（4）等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an;项数为时，则;项数为奇数时，等比数列中，（1）;（2）若，则;若，则；（3）等比数列的任意连续项的和且不为零时构成的数列仍为等比数列.如：公比为-1时，、-、-、…不成等比数列。如：（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则（答：10）。（3）一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数为____（答：18）（4）等比数列中，前四项之和为240，第二、第四项之和为180，则首项为（答：6）（5）等差数列的前12项的和是98，前98项的和是12，则的前110项的和为__________（答：）35\n（6）设等比数列的公比为，前n项和为，若成等差数列，则的值为_________________（注意在运用等比求和公式时对公比进行讨论）（答：）（7）设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是______________（1）（2）（3）（4）6、等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)如：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）7、求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=答：③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=（答：）8、求通项常法:（1）已知数列的前n项和,求通项，可利用公式:如：数列满足，求（答：）（2）先猜后证（3）递推式为＝＋f(n)(采用累加法)；＝×f(n)(采用累积法)；如：已知数列满足，，则=________（答：）（4）构造法形如、（为常数）的递推数列如：已知，求（答：）；（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1；an＝如：数列｛an｝中,已知,,则=________（答：）（6）倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项。35\n如：（1）已知，求（答：）；（2）已知数列满足=1，，求（答：）9、数列的求和数列求和的常用方法：―――关键找通项公式，确定项数。公式法：⑴等差数列的求和公式，⑵等比数列的求和公式分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）如：已知数列,满足an=，求倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）如：（1）设，，则=_____（答：2022）（2）已知，则＝___（答：）错位相减法：（“差比数列”的求和）如：已知数列,满足an=(2n-1)2n，求裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：（1）（2）（3）（4）（理）（5）如：求和：（答：）、四、三角函数1、三角函数的基本概念⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度⑵弧长公式：；扇形面积公式：。如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）2、函数y=b（）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.单调增（减）区间，如增区间可有（）来求出的范围35\n③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.如：（1）函数的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则______（答：－5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答：）（5）函数为增函数的区间是_______（错因不注意内层函数的单调性。）（答：）(6)已知函数,设为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围(答：)④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;（1）要得到函数的图像，只需将的图像向左平移个单位（答：）（2）将函数的图像沿轴向右平移个单位（）所得的图像关于轴对称，求的最小值是（答：）3、同角基本关系：，=，.如：已知，则＝____；＝_________（答：；35\n）；4、正弦、余弦的诱导公式，诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视a为锐角)(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)如：若，，则角的终边在第_______________象限。5、（1）和（差）角公式①②③.如：已知tanatanb是方程x2+3x+4=0的两根，若a，bÎ(-)，则a+b=_________（答：）错因：没有准确限制角的范围。（2）二倍角公式①；②；③变形公式：如：（1）函数的单调递增区间为___________（答：）（2）＝ （答：2）（3）已知，那么的最大值和最小值分别是_______35\n（答：7或）（4）已知,则的取值范围是______（答：）巧变角：如，，，，等），如：（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：）6、辅助角公式中辅助角的确定：(其中)如：如果是奇函数，则=(答：－2)；7、正弦定理:2R===;（是外接圆直径）①；②；内切圆半径r=余弦定理：a=b+c-2bc;；ABC中，三角形内角和定理：在△ABC中，有.术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°如：（1）已知锐角三角形中，边长满足，且，则另一边长=（答：）（2）在中，分别是的对边长，已知.(Ⅰ)若,求实数的值;（答：）(Ⅱ)若,求面积的最大值.（答：）五、平面向量1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。35\n的相反向量是－。)、共线向量、相等向量如：与向量平行的单位向量________________，垂直的单位向量________________。（答：（）；（））2、向量加法与减法运算①代数运算：(1);；(2)若=（）,=（）则=（）．②几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=－,=－.且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．如：已知在平面直角坐标系中，O(0,0),M(1,),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)满足：0≤≤1,0≤≤1,则的最大值为（答：4）3、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。①︱︱=︱︱·︱︱；(1)当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=．(2)若=（），则·=（）．②两个向量共线的充要条件：(1)向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得=．(2)若=（）,=（）则∥4、向量的数量积①向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角（两个向量必须有相同的起点）。②两个向量的数量积：两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos．35\n其中向量在方向上的投影为︱︱cos．且︱︱cos＝③向量的数量积的性质：若=（）,=（）（1）·=·=︱︱cos(为单位向量)；（2）⊥·=0；（3）︱︱=；（4）cos==．④向量的数量积的运算律：·=·；()·=(·)=·()；(＋)·=·+·．注意：①与向量垂直且模相等的向量为或；②在平分线上的向量可以记为③向量与向量夹角为锐角·且、不共线；④向量与向量夹角为钝角·且、不共线。如：已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是（答：或且）；5、平面向量基本定理（1）若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=+．（2）有用的结论：若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数，，使得+=，则==0.特别：＝则是三点P、A、B共线的充要条件如平面直角坐标系中，为坐标原点如：已知两点,,若点满足,其中且35\n,则点的轨迹是_______（答：直线AB）6、三角形中一些向量结论：在中，①为的重心，特别地为的重心；②为的垂心；③向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；如：（1）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：直角三角形）（2）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）（3）设点O在△ABC的内部且满足:，现将一粒豆子随机撒在△ABC中，则豆子落在△OBC中的概率是______________（答：）（4）若点是的外心，且，则的内角为____（答：）（5）O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过△ABC的心（答：内心）（6）为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若(-)·(+-2)=0，则DABC是三角形（答:等腰三角形）（7）已知是平面上不共线三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，，则的值为（答：12）（8）等边三角形ABC中，P在线段AB上,且，若，则实数的值是_______（答：）7、P分的比为,则=,＞0内分;＜0且≠-1外分.若λ＝1则＝(+);设P(x,y),P1(x1,y1)，中点（x,y）重心（x,y）8、点按平移得,则＝或函数按平移得函数方程为：35\n如：（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝________（答：）六、不等式1、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知，，则的取值范围是______（答：）；2、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如：（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）3、常用不等式：若，（1）（当且仅当时取等号）；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如：如果正数、满足，则的取值范围是 _________（答：）基本变形：①；；注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数的最小值（答：8）②若若，则的最小值是______（答：）；③正数满足，则的最小值为______（答：）；4、(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a5、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有：⑴添加或舍去一些项，如：；⑵将分子或分母放大（或缩小）35\n⑶利用基本不等式，如：；⑷利用常用结论：Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；⑦最值法,如：a>fmax(x),则a>f(x)恒成立.6、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方④公式法：|f(x)|>g(x);|f(x)|<g(x)。7、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回如：（1）解不等式。（答：或）；（2）解不等式（答：时，；时，或；时，或）七、立几几何1、位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面:a∥α、a∩α=A(aα)、aα③平面与平面:α∥β、α∩β=a2、常用定理:①线线平行:;;;②线面平行：;;35\n③面面平行:;;④线线垂直:;直线所成角；⑤线面垂直:;;;⑥面面垂直：二面角成;;3、求空间角①异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：平移以及补形法、向量法。如：（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如：（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角正弦值为______（答：）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；4、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正三角形四心（内心、外心、垂心、重心）?内切、外接圆半径?正三棱锥与正四面体的关系5、平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;如：如图甲，在直角梯形中，，，，是的中点.现沿把平面折起，使得（如图乙所示），、分别为、边的中点.图甲图乙（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在上找一点，使得平面.35\n6、等积法关键是要找到与面垂直的直线，即底面上的高APBCFED如：如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点.（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；（2）求四面体PCEF的体积.7、三视图：长对正，宽相等，高平齐以两两互相垂直的光线去投影，在三个投影面上留下的影子即为三视图左视图主视图俯视图如：（1）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为.（答：）（2）已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O体积等于___________.（）注：三棱锥是长方体或正方体的一部分（）8、常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行线面平行面面平行⑥线线垂直线面垂直面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.八、解析几何α。πOK(一)直线1、倾斜角α∈[0,π与斜率：任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率。α=900斜率不存在;时,斜率k=tanα=如：（1）直线过定点，且与以为端点的线段PQ相交，则的斜率的取值范围是（答：）35\n（2）若，则直线的倾斜角的取值范围是____________（答：）2、直线方程:点斜式y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b;一般式:Ax+By+C=0两点式:;截距式:(a≠0;b≠0);确定直线的几何要素（两个点、一点和方向），求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点；如：（1）过点A（1，2）作直线，使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线的条数是（答：3）（2）一条直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线方程为_________________（答：）（3）直线l经过点（-2，3），且原点到直线l的距离是2，直线l的方程（答：）（4）若一条直线经过点，且与两点的距离相等，则该直线的方程为_______________（答：）（5）过点（1，2）的直线与x轴的正半轴、y的正半轴分别交于A,B两点，当的面积取最小值时，直线的方程是___________________（答：）3、两直线平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2A1A2+B1B2=0；③若A1、A2、B1、B2都不为零l1∥l2;如：设直线和，当时，；（答：）4、点线距d=;两平行线之间的距离：如：已知两点到直线的距离均等于，且这样的直线可作4条，则的取值范围是（答：）(二)圆1、圆的方程:标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一条直线上的三个点等）35\n2、点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系：（1）P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外)(x0-a)2+(y0-b)2<r2(=r2,>r2)设圆的直径为AB，则（2）直线与圆相交（相切，相离）有两（一，零）个公共点（3）圆与圆的位置关系转化为圆心距与半径的关系。设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R两圆相离;d＝r+R两圆相外切;|R－r|<d<r+R两圆相交;d＝|R－r|两圆相内切;d<|R－r|两圆内含;d=0,同心圆；把两圆x2+y2+D1x+E1y+C1=0与x2+y2+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;3、圆的切线方程，切线长公式，切点弦方程，直线和圆相交的弦长，与圆相关的几何性质直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.如：(1)过点与圆切于点B的圆的方程为（答：）(2)当实数满足时，变量的取值范围是_________（答：）(3)把L:（答：）（4）曲线有两个交点，则k的取值范围为（答：）（5）设过点的直线的斜率为，若圆上恰有三点到直线的距离等于1，则的值为（答：1或7）(三)圆锥曲线1、椭圆①方程(a>b>0);参数方程②定义:=e<1;|PF1|+|PF2|=2a>2c③e=,a2=b2+c2④长轴长为2a，短轴长为2b⑤焦半径左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦点弦,右焦点弦35\n⑥准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=⑦=,当P为短轴端点时∠PF1F2最大,近地a-c远地a+c;如：（1）中心在原点，离心率为，焦点到相应准线距离是3的椭圆方程是（答：）（2）椭圆的焦点为F1,F2，若P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的倍（答：7）（3）P为曲线上一动点，F为右焦点，设点A，则的最小值为___（答：21）（4）若直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（答：）（5）直线与圆，相交于。若，则的值为（答：）（6）已知分别是椭圆的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交椭圆于两点，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的范围是_____________（答:）（7）设分别是椭圆的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过点，则该椭圆的离心率的取值范围是__________（答：）2、双曲线：①方程(a,b>0)②定义:=e>1;|PF1-PF2|=2a<2c③e=,c2=a2+b2④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐近线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离35\n⑥准线x=、焦准距p=⑦渐近线或;焦点到渐近线距离为b;如：（1）过双曲线的左焦点的直线与双曲线的左支交于P、Q两点，且弦长|PQ|=7，是双曲线的右焦点，则的周长是（答：）（2）已知两点A（－3，0）B（3，0），若|PA|－|PB|=2，则点P的轨迹方程为（答：）（3）双曲线的离心率,则实数的取值范围是（答：）（4）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（答：）3、抛物线：①方程y2=2px②焦半径;焦点弦＝x1+x2+p;y1y2=－p2,x1x2=其中A(x1,y1)、B(x2,y2)4、相交弦问题：①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.7、解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax2+Bx2＝1;共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数,≠0);抛物线y2=2px上点可设为(,y0);直线的另一种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义.8、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;35\n（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,（7）给出,等于已知是的平分线/（8）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（9）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（10）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（11）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（13）在中，给出等于已知通过的内心；（14）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（15）在中，给出,等于已知是中边的中线;九、概率、统计与统计案例部分1、概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：；⑶几何概型：；如：（1）一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（答：）（2）设有一个正方形网格，其中每个小正方形的边长都等于6cm。现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与网格有公共点的概率为（答：）（3）一枚半径为1的硬币随机落在边长为3的正方形所在平面内，且硬币一定落在正方形内部或与正方形有公共点，则硬币与正方形没有公共点的概率是（答：）35\n2、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：①每个个体被抽到的概率为；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；④按预先制定的规则抽取样本。⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数3、总体特征数的估计：⑴样本平均数；⑵样本方差；⑶样本标准差=；4、线性回归方程：,（*）,相关系数（判定两个变量线性相关性）：注：⑴>0时，变量正相关；<0时，变量负相关；⑵①越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。35\n5、独立性检验（分类变量关系）：.提醒：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为。如：已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为A．15，36B．22，6C．15，6D．22，36（答：B）附加题部分（理科）一）概率分布1、互斥事件有一个发生的概率公式为：；相互独立事件同时发生的概率公式为；如果事件与互斥，那么事件与、与及事件与也都是互斥事件；如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是；条件概率:已知事件发生条件下事件发生的概率称为事件关于事件的条件概率，记作.对任意事件和，若，则“在事件发生的条件下的条件概率”，记作P(A|B)，定义为2、随机变量的概念,常用希腊字母ξ、η等表示。对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(a、b是常数)也是随机变量。3、离散性随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量可能取得值为：X1，X2，…，X3，…，取每一个值Xi（I=1，2，…）的概率为P（，则称表X1X2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量的概率分布，简称的分布列。两条基本性质：①…)；②P1+P2+…=1。4、独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。(1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（A·B）=P（A）·P（B）；(2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k)=CPk(1－P)n-k。5、随机变量的均值和方差（1）随机变量的均值…；反映随机变量取值的平均水平。35\n（2）离散型随机变量的方差：……；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。 基本性质：；。6、几种特殊的分布列（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量，来描述这个随机试验的结果。如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必定为1－P，均值为E=p，方差为D=p（1－p）。（2）超几何分布:重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”。所以，其分布列为：ξ12…n…Ppp(1－p)……（3）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n次试验中恰好成功k次的概率为：记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。二）矩阵变换1.矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵（2）零矩阵（3）行矩阵：[a11,a12]列矩阵：，一般用a，b等表示。（4）行向量与列向量.列向量：P（x，y）向量OP，（x，y）2.二阶行矩与平面向量的乘法=3.二阶行矩的乘法:一般地，=。,表示几何意义是什么？4.几种常见的平面变换(1)恒等变换阵（即单位矩阵）：(2)伸压变换:(3)反射变换：。（4）旋转变换：（5）投影变换：（6）切变换：35\n5.逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。6利用逆矩阵解方程组可以表示成=，简写成,7.特征值和特征向量（1）,如果存在和非零向量满足=，即,则叫A的一个特征值，叫特征向量。8.是A的一个特征值，求特征向量解方程组，取或者，写出相应的向量；三）参数方程、极坐标1.极坐标：M是平面上一点，表示OM的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。2.极坐标和直角坐标互化公式或，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.（2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.四）定积分1、概念：用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→35\n0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。2、基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。（3）定积分的性质①（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b。五）用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角；⑵求线面角：设是斜线方向向量,是平面法向量,与直线则斜线的锐夹角为,，则斜线与平面成角为，或；注意：得到的角是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在内,在内,其方向如图(略),则；(法二)设,是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角的平面角；注：不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；（4)求点面距离：设是法向量,在内取一点,则到距离(即在方向上投影的绝对值)（5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz时，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。(1)让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系；(2)OQ=x、OR=y、PA=z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A（x,y,z）；(3)平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，35\n不共线，则为平面的法向量六）排列、组合、二项式定理1、排列数公式:,.组合数公式：,.组合数性质：；.2、二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：；⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.七）数学归纳法如果（1）当取第一个值（例如等）时结论正确；（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确．那么，命题对于从开始的所有正整数都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．35
