高考理科数学适应性考试卷理科数学试卷命题人：高三数学备课组审题人：张传江吴巨龙本试卷共150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题在每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；完成句子和书面表达题用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上相对应的答题区域内。答在试题卷上无效。3．非选择题用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题对应的答题区域内，答在试题上无效．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则满足的实数可以取的一个值为A．0B．1C．2D．3yx0D．C．yx0B．yx0yx0A．2．函数的大致图象是3．若不等式的解集是，那么的值是A．2B．－2C．D．13/13\n4．已知直线和平面，那么的一个充分条件是A．存在一条直线，且B．存在一条直线，且C．存在一个平面，且D．存在一个平面，且5．已知点，是圆上任意一点，则线段中点的轨迹是A．椭圆B．圆C．直线D．抛物线6．已知直线与曲线切于点（1，3），则的值为A．3B．－3C．5D．－57．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的倍，得到函数的图象．另一方面函数的图象也可以由函数的图象按向量平移得到，则可以是A．B．C．D．8．已知双曲线右支上一点满足，其实轴长为1，、分别是双曲线的左、右焦点，为轴上一点，则A．B．C．D．9．设等差数列的前项和为，若，则中最大的项是A．B．C．D．10．下列四种说法：①命题“若或，则”的否命题是“若或，则”；②四面体的外接球球心在棱上，且，，则在外接球球面上、两点间的球面距离是；13/13\n③若，则复数在复平面内对应的点位于第三象限；④在某项测量中，测量结果服从正态分布（）．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为0.4；其中说法正确的有A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．的展开式中常数项为．（用数字作答）12．如图，等腰梯形中，是边上的两个三等分点，，，若把三角形和分别沿和折起，使得两点重合于一点，则二面角的余弦值为．13．定义在上的函数满足，为的导函数，已知函数的图像如右图所示，若两正数满足，则的取值范围是．14．2022是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11．那么，从公元元年至今，具有这种性质的四位数的年号共出现过次．15．记函数的最大值为．则：①=；②的最小值为．13/13\n三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）中，分别为角的对边，向量，向量，且．（1）求的值域；（2）若，求的面积．17．（本小题满分12分）在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为，记．（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求随机变量的分布列和数学期望．13/13\n18．（本小题满分12分）在直四棱柱中，底面为直角梯形，，，，为棱的中点，为棱的中点，为棱上一动点．（1）求证：平面（2）求三棱锥的体积；（3）当时，求与平面所成角的大小．19．(本小题满分12分)某企业为了适应市场需求，计划从2022年元月起，在每月固定投资5万元的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额总和的20%，但每月追加部分最高限额为10万元．记第个月的投资额为（万元）．（1）求与的关系式；（2）预计2022年全年共需投资多少万元？（精确到0.01，参考数据：1.22=1.44,1.23=1.73,1.24=2.07,1.25=2.49,1.26=2.99）13/13\n20．（本小题满分13分）已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线的准线为双曲线的一条准线．动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点．（1）求双曲线的方程；（2）无论直线绕点怎样转动，在双曲线上是否总存在定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设定义在上的函数，函数，当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称．（1）求函数的表达式；（2）求证：当时，（为自然对数的底数）；（3）若（），数列中是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．13/13\n高三适应性考试理科数学试卷参考答案一、选择题：1—5：DDBCB；6—10：AACCC二、填空题：11．5；12．；13．；14．64；15．（2分），（3分）；三、解答题：16．解：（1）∵，∴……………2分∴且∴………4分∴，即的值域为……………6分（2）∵且∴……………7分又由已知，∴由余弦定理得：解得：或（舍去）……………10分∴……………12分17．解：（1）∵可能的取值为1、2、3，∴，∴，且当，或，时，．因此，随机变量的最大值为3．…………3分∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，∴．∴随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为．…………5分（2）的所有取值为0，1，2，3．…………6分∵时，只有，这一种情况，13/13\n时，有，或，两种情况，时，有，或，两种情况，∴，，，………………9分则随机变量的分布列为：0123P因此，数学期望．…………………12分18．（1）证明：取棱的中点，连接，，∵为棱的中点，为棱的中点，且，∴直四棱柱中，且∴四边形是平行四边形，∴又∵平面，平面∴平面……………3分（2）解：直四棱柱中，，∴平面又∵平面，平面，平面13/13\n∴……………7分（3）解：在平面内过点作，交棱于点，连接，则由直四棱柱中平面得：平面∴是在平面上的射影，∴当时，又∵矩形中，，∴，∴点和点重合，∴是棱的中点，且………………9分∴平面即为平面∵直角梯形中，，，∴，设点到平面的距离为，与平面所成角为，∵，且∴平面又∵平面，∴∴，即与平面所成角的大小为……………12分注：用空间向量相关知识求解可酌情评分．19．解：（1）设前个月投资总额为，则时，，，……………2分两式相减得：，，……………3分13/13\n又，，…5分又，，，，……………7分．……………8分（2）（万元）故预计2022年全年共需投资154.64万元．……………12分20．解：（1）设，则由题意有：∴，，故双曲线的方程为，……………4分（2）解法一：由（1）得点为当直线l的斜率存在时，设直线方程，，将方程与双曲线方程联立消去得：，∴解得……………6分假设双曲线上存在定点，使恒成立，设为则：13/13\n∵，∴，故得：对任意的恒成立，∴，解得∴当点为时，恒成立；……………10分当直线l的斜率不存在时，由，知点使得也成立．又因为点是双曲线的左顶点，……………12分所以双曲线上存在定点，使恒成立．……………13分解法二（略解）：当直线l的斜率不存在时，由，，，且点在双曲线上可求得，当直线l的斜率存在时，将，，代入，经计算发现对任意的恒成立，从而恒有成立．因而双曲线上存在定点，使恒成立．21．解：（1）将函数的图象向右平移一个单位，得到函数的图象，函数的图象关于点（0，0）对称，即函数是奇函数，13/13\n……………2分由题意得：所以，经检验满足题意．……………4分（2）证明：由（1）知，当时，不等式即为：构造函数（），则，所以函数在上是减函数，因而时，，即：时，成立，用代换得：时，成立所以当时，成立……………8分（3）解：，则由（2）知：令，得：，结合得：因此，当时，有，所以当时，，即：，又通过比较、、、的大小知：，……………12分13/13\n因为，且时，所以若数列中存在相等的两项，只能是、与后面的项可能相等，又，，所以数列中存在唯一相等的两项，即：．13/13
