回扣3 三角函数、平面向量[知识方法回顾]1.准确记忆六组诱导公式对于“±α，k∈Z”的三角函数值，与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝(cosα≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(其中tanφ＝).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.5.正弦、余弦、正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期2π2ππ单调性在[－＋2kπ，在[－π＋2k在(－＋kπ，＋5\n＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减kπ)(k∈Z)上单调递增最值当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1无最值对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)6.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.(3)图象变换y＝sinxy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ).7.正弦定理及其变形＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝，sinB＝，sinC＝.5\na∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.8.余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.9.面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.(4)已知三边，利用余弦定理求解.11.三角形中的几个常用结论(1)A＋B＋C＝π；(2)sin＝cos；(3)cos＝sin；(4)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC；(5)sin(A＋B)＝sinC；(6)cos(A＋B)＝－cosC；(7)sinA>sinB⇔a>b⇔A>B.12.向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).(4)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影.13.平面向量的数量积5\n(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.14.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.15.利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.16.利用数量积求夹角若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.17.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.[易错易忘提醒]1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.要准确记忆正弦型函数与余弦型函数的对称中心和对称轴，不能混淆.5.三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为，而不是φ.5\n6.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.7.在解三角形时，不要忘记三角形内角和定理这一隐含条件，即A＋B＋C＝π.8.若已知△ABC为锐角三角形，则必须使其三个内角都为锐角；若△ABC为钝角三角形，则只需一个内角为钝角.9.判断两向量是否共线时，不能忽视零向量.10.要注意向量的方向性对夹角的影响，特别要注意三角形的内角与三角形边对应向量的夹角之间的关系.11.平面向量不满足乘法的结合律，这与多项式运算不同.12.a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.5
