回扣7 解析几何[知识方法回顾]1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线).(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：＋＝1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0).2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.3.三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝.(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0).(3)两平行线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0).提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).6\n5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(，0)几何性质轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝＝(0<e<1)e＝＝(e>1)e＝1准线x＝－渐近线y＝±x7.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法6\n类似于直线与椭圆，所不同的是，当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有一个公共点，此时，联立方程组，消去x(或y)得到的方程二次项系数为0.(3)直线与抛物线位置关系的判定方法类似直线与椭圆，所不同的是，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线有一个交点，此时，联立方程组得到的是一次方程.8.直线与圆锥曲线相交的弦长求法解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|，其中|x1－x2|＝，|y1－y2|＝.9.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.10.圆锥曲线中的证明问题(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.以下是一些常用的证明方法：①证A、B、C三点共线，可证kAB＝kAC或＝λ；②证直线MA⊥MB，可证kMA·kMB＝－1或·＝0；③证|AB|＝|AC|，可证A点在线段BC的垂直平分线上.11.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x，y6\n当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(3)对于直线过定点问题，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).12.定值问题(1)解析几何中的定值是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.(2)求证某几何量为定值首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理，根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值.(3)求解定值问题时，如果事先定值不知道，可以先对参数取特殊值，通过特殊值求出这个定值，然后再对一般情况进行证明.13.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.常用的几何方法有：(1)直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.(2)圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C的半径).(3)过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点的直径垂直的弦.(4)圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近.常用的代数方法有①利用二次函数求最值.②利用基本不等式求最值.6\n③利用导数法求最值.④利用函数单调性求最值.14.主要结论(1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系①平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不相等)；②相交⇔A1B2－A2B1≠0；③重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；④垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.(2)点P(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内(或外)⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0(或>0).(3)①若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则该点的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.②若点M(x0，y0)在曲线±＝1上，则过M的切线为：±＝1.(4)椭圆上一点M，焦点F1，F2，有：|MF1|∈[a－c，a＋c]；|MF1|·|MF2|∈[b2，a2].(5)抛物线y2＝2px过焦点的弦AB有：①xA·xB＝；②yA·yB＝－p2；③|AB|＝(α是直线AB的倾斜角)[易错易忘提醒]1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中一般提到的两条直线可理解为它们不重合.5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解.6.圆的标准方程中考生误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件.7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.6\n8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.6
