第26课导数的综合问题1．（2022福建高考）已知，，且．现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C．【解析】∵，令，解得或，当时，；当时，；当时，，∴时，有极大值，当时，有极小值，∵函数有三个零点，∴，且，又∵，∴，即，∴，∴．2．（2022陕西高考）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为.【答案】2【解析】函数在点处的切线为，即.∴D表示的平面区域如图，当目标函数直线经过点时有最大值，最大值为.6\n3．（2022门头沟一模）已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1），令，得，当时，，函数在上单调减，当时，，在和上，有，函数单调减，在上，，函数单调增．（2）当时，，由（1）知，函数在上是单减，在上单调增，∴函数在的最小值为，若对任意，当时，恒成立，只需当时，即可∴，代入解得，∴实数的取值范围是．6\n4．（2022梅州一模）设函数，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）如果对任意的都有成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，∴，，∴在处的切线方程为．（2），使得成立，等价于，∵，，－＋极小值由上表可知，，∴，∴满足条件的最大整数(3)对任意的都有成立，等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值．有(2)知，在区间上，的最大值为，，等价于恒成立，记，，，记，，由于，∴，∴在上递减，当时，，时，，即函数在区间上递增，在上递减，∴，∴．6\n5．（2022陕西高考）设函数．（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设为偶数，，求的最小值和最大值；（3）设，若对任意，有，求的取值范围．【解析】(1)当时，，∵，∴在区间内存在零点．又∵，，∴在区间上是单调的，∴在区间内存在唯一的零点．（2）由题意，知，∴，，∴，∵，∴，∴的最小值为，最大值为．（3）当时，．对任意，有，等价于在上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下：（ⅰ）当，即时，，与题设矛盾；（ⅱ）当，即时，恒成立；（ⅲ）当，即时，恒成立；综上可知，．6\n6．（2022汕头二模）设函数．其中．（1）若函数在处取得极值，求的值；（2）已知函数有三个不同的零点，分别为，，，且，若对任意的，恒成立，求的取值范围．【解析】（1）∵，∴，∵函数在处取得极值，∴，解得．（2）设，∴有两相异实根，，∴，且，∴（舍去），或．∵，∴，∴，若，则，而，不合题意；若，则对任意的，有，，则，又，∴在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是，解得，6\n综上，的取值范围是．6
