课后限时集训(十) 函数的奇偶性与周期性建议用时：40分钟一、选择题1．下列函数中，为偶函数的是( )A．y＝(x＋1)2B．y＝2－xC．y＝|sinx|D．y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)C [对于A，函数图象关于x＝－1对称，故排除A.对于B，f(－x)＝2x≠f(x)，函数不是偶函数．对于C，f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，因此函数是偶函数．对于D，由得x＞1，函数的定义域为(1，＋∞)，定义域不关于原点对称，因此函数不是偶函数，故选C.]2．函数f(x)＝的图象( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称B [因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．]3．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数．当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝( )A．－B．－C．D．C [由题意知f＝f＝f＝－f＝－＝，故选C.]4．(多选)(2020·山东模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋4)为偶函数ABC [因为f(x＋1)，f(x＋2)均为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x＋2)＝－f(x＋2)．在f(－x＋1)＝－f(x＋1)中，以x＋1代换x，得f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以f(－x)＝f(－x＋2)，以－x代换x，得f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2\n为周期的周期函数，选项B正确；由f(－x＋2)＝－f(x＋2)，得f(－x＋2)＝－f(x)，以－x代换x，得f(x＋2)＝－f(－x)，得f(x)＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，选项A正确；f(x＋3)＝f(x＋1)，f(x＋1)为奇函数，故f(x＋3)为奇函数，选项C正确；f(x＋4)＝f(x＋2)＝f(x)，若f(x＋4)为偶函数，则f(x)也为偶函数，与f(x)为奇函数矛盾，故选项D不正确．]5．已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－3,3)D．(－4,4)A [法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．]6．已知函数f(x)＝为奇函数，则f(a)＝( )A．－1B．1C．0D．±1C [∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)，∴f(x)＝∴f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.]二、填空题7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝log2(－x)，则f(f(2))＝________.0 [f(2)＝－f(－2)＝－log22＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝log21＝0.]8．已知f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，则当x＜0时，f(x)＝________.x2＋x－1 [当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋x－1.]9．(2020·北京牛栏山一中月考)函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(x)的值域为________．\n1 (－1,1) [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝＝＝－f(x)＝，∴aex＋1＝ex＋a，∴a＝1，∴f(x)＝＝1－.∵ex＞0，∴ex＋1＞1，∴0＜＜2，∴－1＜1－＜1，即f(x)的值域为(－1,1)．]三、解答题10．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．[解] 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)＝11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．[解] (1)由f＝－f，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋\na(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.1．(多选)(2020·山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则( )A．函数f(x)是周期函数B．函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称C．函数f(x)为R上的偶函数D．函数f(x)为R上的单调函数ABC [因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，A正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以f(x)的图象关于点(－1,0)对称，B正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为R上的偶函数，C正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D不正确．]2．(多选)(2020·山东烟台期中)已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)＋f(2)成立，当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，则下列结论正确的有( )A．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝0B．直线x＝－5是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴C．函数y＝f(x)在[－7,7]上有5个零点D．函数y＝f(x)在[－7，－5]上单调递减ABD [由f(x)是奇函数可得f(0)＝0.令x＝2，由f(2－x)＝f(x)＋f(2)可得f(2)＝0，则f(x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝1对称．f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－2－2)]＝f(x－4)，所以f(x)是周期为4的周期函数．当x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2时，都有＞0，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增．根据以上信息可画出函数f(x)的草图如图所示．对于A，易得f(1)＋f(3)＝…＝f(2017)＋f(2019)＝0，f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝0，A正确．对于B，直线x＝－5是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，B正确．对于C，函数y＝f(x)在[－7,7]上有7个零点，C不正确．对于D，函数y＝f(x)在[－7，－5]上单调递减，D正确．故选ABD.]\n3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．1．已知函数f(x)＝log2(－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝则g(g(－1))＝______.1 [由f(x)＝log2(－x)得－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝log2＝0，解得a＝1.所以g(－1)＝f(－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2－1＝.]2．对于函数f(x)，若在定义域D内存在实数x0满足f(2－x0)＝－f(x0)，则称函数y＝f(x)为“类对称函数”．(1)判断函数g(x)＝x2－2x＋1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x0的值；若不是，请说明理由；(2)若函数h(x)＝3x＋t为定义在(－1,3)上的“类对称函数”，求实数t的取值范围．[解] (1)是，且满足条件的x0为1.g(x)＝(x－1)2，设实数x0满足g(2－x0)＝－g(x0)，即(2－x0－1)2＝－(x0－1)2，解得x0＝1，所以函数g(x)是“类对称函数”，且满足条件的x0为1.(2)因为h(x)是“类对称函数”，所以存在x0∈(－1,3)，使得32－＋t＝－(3＋t)，t＝－(32－＋3)，设u＝3∈，则t＝－∈，\n所以t的取值范围是.
