课后限时集训(十一) 函数性质的综合问题建议用时：40分钟一、选择题1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )A．0.5B．1.5C．2.5D．3.5C [由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的周期函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5，故选C.]2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有( )A．f＜f＜fB．f＜f＜fC．f＜f＜fD．f＜f＜fC [由f(x＋2)＝－f(x)及f(x)是奇函数得f＝f＝－f＝f，又函数f(x)在[－1,1]上是减函数，所以f＜f＜f，即f＜f＜f，故选C.]3．(多选)若奇函数f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为0，则它在[－2，－1]上( )A．是增函数B．是减函数C．有最大值为0D．有最小值为0BD [因为f(x)为奇函数，所以函数在关于原点对称的区间上单调性相同，故函数在[－2，－1]上也为减函数．又由题易得f(1)＝0，所以f(－1)＝0，即0为函数在[－2，－1]上的最小值，故选BD.]4．设奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为( )A．(－1,0)∪(1，＋∞)\nB．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)D [∵奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，∴函数f(x)的图象关于原点对称，且过点(1,0)和(－1,0)，且f(x)在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f(x)的大致图象如图所示．∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈(－1,0)∪(0,1)．]5．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D [由得函数f(x)的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C.当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B.当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函数f(x)单调递减，故选D.]6．(2020·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝sinx＋，则( )A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线x＝π对称D．f(x)的图象关于直线x＝对称D [由题意得sinx∈[－1,0)∪(0,1]．对于A，当sinx∈(0,1]时，f(x)＝sinx＋≥2\n＝2，当且仅当sinx＝1时取等号；当sinx∈[－1,0)时，f(x)＝sinx＋＝－≤－2＝－2，当且仅当sinx＝－1时取等号，所以A错误．对于B，f(－x)＝sin(－x)＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋＝－，f(π－x)＝sin(π－x)＋＝sinx＋，则f(x＋π)≠f(π－x)，f(x)的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误．对于D，f＝sin＋＝cosx＋，f＝sin＋＝cosx＋，所以f＝f，f(x)的图象关于直线x＝对称，所以D正确．故选D.]二、填空题7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6 [∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.]8．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．①②③ [∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]9．(2020·湖北荆门模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：R(x)＝若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg30)＝________.\n－ [∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，∴函数f(x)是以2为周期的周期函数，则f＝f＝f＝－f＝－R＝－，f(lg30)＝f(lg3＋lg10)＝f(lg3＋1)＝f(lg3－1)＝－f(1－lg3)＝－R(1－lg3)＝0，∴f＋f(lg30)＝－.]三、解答题10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．[解] (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝11．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．[解] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．\n当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.1．(多选)(2020·山东日照期中)设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f＝，则称函数f(x)具有性质P.那么下列函数中，具有性质P的函数为( )A．f(x)＝B．f(x)＝|x2－1|C．f(x)＝x3＋xD．f(x)＝2|x|ABC [对于A，在函数f(x)的图象上取A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，有f(0)＝成立，故A正确；对于B，在函数f(x)的图象上取A(－，1)，B(0,1)，C(，1)，有f(0)＝成立，故B正确；对于C，在函数f(x)的图象上取A(1,2)，B(0,0)，C(－1，－2)，有f(0)＝成立，故C正确；对于D，因为f(x)＝2|x|，＝≥＝2≥2＝f，又x1≠x2，所以f＜恒成立，故D错误．故选ABC.]2．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是( )A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)D [由①知函数f(x)的周期为4，由③知f(x＋2)是偶函数，则有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x＝2，由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增，则在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故选D.]3．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数又是减函数．\n(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．[解] (1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．综上得证，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.故所求实数a的取值范围是[0,1)．1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)①②③④ [因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(x)在[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数．由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，\n所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数．所以f(2－x)＝f(x)，所以函数图象关于x＝1对称．由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，所以f(x)在[1,2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．]2．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．[解] (1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1，所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17).
